Równania Friedmana

Ten artykuł od 2017-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Równania Friedmana – podstawowe równania kosmologii relatywistycznej. Określają one ewolucję wszechświata przy założeniu jego przestrzennej jednorodności i izotropowości (braku wyróżnionego miejsca i kierunku). Zostały po raz pierwszy wyprowadzone przez rosyjskiego uczonego Aleksandra Friedmana w 1922 roku z równań pola Einsteina dla płynu o danym ciśnieniu ${\displaystyle p}$ i gęstości ${\displaystyle \rho }$ z metryką zwaną obecnie metryką Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera.

Postać równań

Istnieją dwa niezależne równania Friedmana. Pierwsze z nich określa zmiany pierwszej pochodnej czynnika skali ${\displaystyle a}$ w zależności od czasu kosmicznego ${\displaystyle t{:}}$

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}},}$

gdzie:

${\displaystyle H}$ to parametr Hubble’a,

${\displaystyle G}$ – newtonowska stała grawitacji,

${\displaystyle k}$ – krzywizna przestrzeni,

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni,

${\displaystyle \Lambda }$ – stała kosmologiczna.

Drugie z równań Friedmana, zwane również równaniem na przyspieszenie, zawiera drugą pochodną czynnika skali po czasie kosmicznym:

${\displaystyle {\dot {H}}+H^{2}\equiv {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}.}$

Parametr Hubble’a zmienia się w czasie, a jego obecna wartość, ${\displaystyle H_{0},}$ zwana jest stałą Hubble’a i pojawia się jako współczynnik proporcjonalności w prawie Hubble’a. Natomiast rosnący w czasie czynnik skali (na co wskazują obserwacje astronomiczne) oznacza ekspansję wszechświata.

Z równań Friedmana można wyeliminować ciśnienie, jeżeli zna się równanie stanu rozważanego płynu, czyli związek między jego gęstością a ciśnieniem. Natomiast wprowadzenie parametru gęstości ${\displaystyle \Omega =\rho /\rho _{c},}$ gdzie ${\displaystyle \rho _{c}}$ jest gęstością krytyczną, pozwala na przeformułowanie pierwszego równania Friedmana do ogólnej postaci:

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{r}a^{-4}+\Omega _{m}a^{-3}+\Omega _{k}a^{-2}+\Omega _{\Lambda }.}$

Wielkości ${\displaystyle \Omega _{r},}$ ${\displaystyle \Omega _{m}}$ i ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$ są odpowiednio parametrami gęstości promieniowania, materii i stałej kosmologicznej, zaś ${\displaystyle \Omega _{k}}$ jest „parametrem krzywizny”. Znajomość tych parametrów, a więc znajomość składu wszechświata, pozwala wnioskować o jego przeszłej i przyszłej ewolucji, oczywiście w przypadku, gdy spełnione jest założenie o jego jednorodności i izotropowości (lub też jest ono dobrym przybliżeniem).