Twierdzenie Gelfonda-Schneidera

Twierdzenie Gelfonda-Schneidera – twierdzenie, które pozwala stwierdzić, że liczby pewnej postaci (opisanej w twierdzeniu) są liczbami przestępnymi. Udowodnione po raz pierwszy w roku 1934 przez Aleksandra Gelfonda i niezależnie w roku 1935 przez Theodora Schneidera. Jest częściowym rozwiązaniem 7 problemu Hilberta.

Twierdzenie

Jeżeli i liczbami algebraicznymi, nie jest liczbą wymierną, to każda wartość jest liczbą przestępną.
Uwagi
  • i nie muszą być liczbami rzeczywistymi – w ogólności mogą być liczbami zespolonymi.
  • W ogólności gdzie „log” oznacza logarytm zespolony, może przyjmować kilka wartości. To właśnie oznacza zwrot „każda wartość”.
  • Równoważnie można sformułować twierdzenie Gelfonda w sposób następujący:
jeżeli oraz są różnymi od zera liczbami algebraicznymi, to jest albo liczbą wymierną, albo przestępną.
  • Pominięcie wymogu, by było liczbą algebraiczną sprawia, że twierdzenie przestaje być prawdziwe: jeśli np. i (jest to liczba przestępna), to jest liczbą algebraiczną. Pełny opis wartości tych i dla których jest liczbą przestępną nie jest znany.

Zastosowania

Bezpośrednio z twierdzenia Gelfonda wynika, że następujące liczby są przestępne:

  • Stała Gelfonda-Schneidera: oraz liczba
  • Stała Gelfonda: jest jedną z wartości

Zobacz też

  • dowód niekonstruktywny
  • twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa
  • hipoteza Schanuela – twierdzenia Gelfonda i twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa są wnioskami z tej hipotezy