Algebra von Neumanna

Algebra von Neumanna (albo W*-algebra) – *-podalgebra C*-algebry operatorów ograniczonych ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ na pewnej przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H,}$ która jest domknięta w słabej topologii operatorowej. Domkniętość w słabej topologii operatorowej gwarantuje również domkniętość względem normy w ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H),}$ a więc każda algebra von Neumanna jest, w szczególności, C*-algebrą.

Teoria algebr von Neumanna zapoczątkowana została z końcem lat dwudziestych XX wieku przez Johna von Neumanna i Francisa Murraya^{[1][2][3][4][5]} (używali oni nazwy pierścienie operatorowe) i motywowana była potrzebą formalizacji języka mechaniki kwantowej^[6]. Nazwa algebra von Neumanna pojawia się po raz pierwszy w książce Dixmiera^[7] jednak on sam przypisuje ją Dieudonnému^[8]. W literaturze nazwa ta była używana wymiennie z nazwą W*-algebra (od ang. weakly closed *-algebra). Niektórzy autorzy (np. Takesaki) dokonują następującego rozróżnienia nazywając W*-algebrą C*-algebrę ${\displaystyle A,}$ która maja wierną (różnowartościową) reprezentację ${\displaystyle (\pi ,H)}$ na przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H}$ o tej własności, iż obraz ${\displaystyle \pi (A)\subseteq {\mathcal {B}}(H)}$ jest algebrą von Neumanna (w zdefiniowanym wyżej sensie).

Podstawowe własności

• Każda algebra von Neumanna ma jedynkę.
• Domknięta kula jednostkowa algebry von Neumanna jest zwarta w słabej topologii operatorowej.
• Algebra von Neumanna jest ośrodkowa względem normy wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.
• Każda nieskończenie wymiarowa algebra von Neumanna zawiera nieskończenie wymiarową podalgebrę przemienną, która jest również algebrą von Neumanna.

Twierdzenie von Neumanna o drugim komutancie

Mimo iż definicja algebry von Neumanna używa pojęcia słabej topologii operatorowej, jest ona równoważna definicji czysto algebraicznej. Niech ${\displaystyle H}$ będzie przestrzenią Hilberta. Dla danego podzbioru ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {B}}(H)}$ symbol ${\displaystyle A'}$ oznacza komutant zbioru ${\displaystyle A,}$ tj. zbiór ${\displaystyle \{x\in {\mathcal {B}}(H):\forall a\in A(xa=ax)\}.}$ Analogicznie, ${\displaystyle A''}$ oznacza drugi komutant zbioru ${\displaystyle A,}$ tj. komutant komutanta ${\displaystyle A'.}$

Niech ${\displaystyle M}$ będzie pod-*-algebrą ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ zawierającą operator identyczności ${\displaystyle I.}$ Wówczas następujące warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle M=M'';}$
2. ${\displaystyle M}$ jest domknięta w słabej topologii operatorowej (tj. ${\displaystyle M}$ jest algebrą von Neumanna);
3. ${\displaystyle M}$ jest domknięta w mocnej topologii operatorowej;
4. ${\displaystyle M}$ jest domknięta w topologii ultrasłabej,

przy czym topologia ultrasłaba to topologia *-słaba pochodząca z dualności ${\displaystyle \mathbf {N} (H){\text{*}}={\mathcal {B}}(H),}$ gdzie ${\displaystyle \mathbf {N} (H)}$ oznacza przestrzeń Banacha operatorów nuklearnych (śladowych) na ${\displaystyle H.}$

Różni autorzy używają wymiennie wymienionych wyżej warunków do zdefiniowania pojęcia algebry von Neumanna.

Przykłady

• Każda skończenie wymiarowa C*-algebra oraz algebra operatorów ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ na dowolnej przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H}$ są naturalnymi przykładami algebr von Neumanna.
• Niech ${\displaystyle \mu }$ będzie miarą lokalizowalną (a więc, na przykład, miarą ${\displaystyle \sigma }$-skończoną) na przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle X.}$ Wówczas przestrzeń H = L₂(μ) jest przestrzenią Hilberta. Na przestrzeni tej działają w naturalny sposób operatory mnożenia przez funkcje z ${\displaystyle L_{\infty }(\mu ),}$ tj. każdej funkcji ${\displaystyle f\in L_{\infty }(\mu )}$ odpowiada operator (ograniczony) ${\displaystyle T_{f}\in {\mathcal {B}}(L_{2}(\mu ))}$ dany wzorem ${\displaystyle T_{f}g=fg.}$ Rodzina wszystkich operatorów mnożenia ${\displaystyle T_{f}}$ jest przemienną podalgebrą ${\displaystyle {\mathcal {B}}(L_{2}(\mu )),}$ która jest algebrą von Neumanna (w ten sposób utożsamia się algebrę ${\displaystyle L_{\infty }(\mu )}$ z algebrą operatorów). Można udowodnić, że każda przemienna algebra von Neumanna jest postaci ${\displaystyle L_{\infty }(\mu )}$ dla pewnej miary lokalizowalnej ${\displaystyle \mu .}$
• Dla dowolnej C*-algebry ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {B}}(H)}$ jej drugi komutant ${\displaystyle A''}$ jest algebrą von Neumanna.
• Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest (być może abstrakcyjną) C*-algebrą, to jej druga przestrzeń sprzężona ${\displaystyle A{\text{**}}}$ (wyposażona w iloczyn Arensa; C*-algebry są regularne w sensie Arensa) jest *-izomorficzna z algebrą von Neumanna. Algebra ${\displaystyle A{\text{**}}}$ jest uniwersalną algebrą von Neumanna dla ${\displaystyle A}$ w następującym sensie: Niech ${\displaystyle (\pi ,H)}$ będzie reprezentacją ${\displaystyle A}$ na przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H}$ oraz niech ${\displaystyle M(\pi )}$ oznacza algebrę von Neumanna ${\displaystyle \pi (A)''.}$ Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe ${\displaystyle \Pi {:}}$ ${\displaystyle A{\text{**}}\to M(\pi )}$ o następujących własnościach: ${\displaystyle \pi =\Pi \kappa ,}$ gdzie ${\displaystyle \kappa {:}}$ ${\displaystyle A\to A{\text{**}}}$ jest kanonicznym zanurzeniem ${\displaystyle A}$ w ${\displaystyle A{\text{**}};}$ ${\displaystyle \Pi }$ jest ${\displaystyle \sigma (A{\text{**}},A{\text{*}})}$ / ${\displaystyle \sigma }$-weak ciągłe; ${\displaystyle \Pi (B_{A{\text{**}}})=B_{M(\pi )}.}$ W szczególności, jeżeli ${\displaystyle (\pi ,H)}$ jest uniwersalną reprezentacją algebry ${\displaystyle A}$ (tj. sumą prostą po wszystkich GNS-reprezentacjach pochodzących od stanów na ${\displaystyle A}$), to ${\displaystyle A{\text{**}}}$ jest *-izomorficzna z ${\displaystyle \pi (A)''.}$
• Hiperskończony faktor typu II₁ ${\displaystyle R.}$

Typy

Algebry von Neumanna dzielą się na trzy zasadnicze typy.

• Typ I: ${\displaystyle M}$ jest typu I, gdy jest izomorficzna z algebrą postaci

${\displaystyle \textstyle \prod _{j\in J}A_{j}\,{\overline {\otimes }}\,{\mathcal {B}}(H_{j}),}$

gdzie dla każdego ${\displaystyle j}$ algebra ${\displaystyle A_{j}}$ jest przemienną algebrą von Neumanna oraz ${\displaystyle H_{j}}$ jest pewną przestrzenią Hilberta ${\displaystyle (j\in J).}$

• Typ II₁: ${\displaystyle M}$ jest typu II₁, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I oraz dla każdego ${\displaystyle 0<x\in M}$ istnieje taki normalny śladowy stan ${\displaystyle \phi \in M{\text{*}},}$ że ${\displaystyle \phi (x)>0.}$
• Typ ${\displaystyle {\text{II}}_{\infty }{:}}$ ${\displaystyle M}$ jest typu ${\displaystyle {\text{II}}_{\infty },}$ gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I bądź II₁ oraz istnieje rosnąca sieć rzutów ${\displaystyle (p_{i})\subset M,}$ zbieżna do ${\displaystyle 1_{M}}$ w mocnej topologii operatorowej, o tej własności, że dla każdego ${\displaystyle i}$ algebra ${\displaystyle p_{i}Mp_{i}}$ jest typu II₁.
• Typ III: ${\displaystyle M}$ jest typu III, gdy nie jest typu I, II₁ ani typ ${\displaystyle {\text{II}}_{\infty }.}$

Każda algebra von Neumanna ${\displaystyle M}$ rozkłada się na sumę

${\displaystyle M=M_{\mathrm {I} }\oplus M_{\mathrm {II} _{1}}\oplus M_{\mathrm {II} _{\infty }}\oplus M_{\mathrm {III} },}$

gdzie każdy z (być może zerowych) jest takiego typu, jaki wskazany jest w indeksie dolnym.

Przypisy