Algorytm Johnsona

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka stopień grafu dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu – wszerz – w głąb najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem marszrutyzacji problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego kod Prüfera

Algorytm Johnsona – algorytm znajdowania najkrótszych ścieżek między wszystkimi parami wierzchołków. Działa w czasie ${\displaystyle O(|V|^{2}\log |V|+|V||E|)}$ (zakładając, że wykonuje algorytm Dijkstry przy użyciu kolejek priorytetowych opartych na kopcach Fibonacciego), dla grafów rzadkich jest więc asymptotycznie szybszy od algorytmu Floyda-Warshalla. Algorytm Johnsona zwraca albo macierz wag najkrótszych ścieżek, albo informuje, że graf wejściowy ma cykl o ujemnej wadze. Algorytm Johnsona wykorzystuje algorytmy Dijkstry i Bellmana-Forda^[1].

Działanie

Algorytm Johnsona wykonuje się w następujących krokach:

• Dodaj nowy węzeł ${\displaystyle q}$ połączony krawędziami o wagach ${\displaystyle 0}$ z każdym innym wierzchołkiem grafu.
• Użyj algorytmu Bellmana-Forda startując od dodanego wierzchołka ${\displaystyle q,}$ aby odnaleźć minimalną odległość ${\displaystyle d[v]}$ każdego wierzchołka ${\displaystyle v}$ od ${\displaystyle q.}$ Jeżeli został wykryty ujemny cykl, zwróć tę informację i przerwij działanie algorytmu.
• W tym kroku przewagujemy graf tak, aby zlikwidować ujemne wagi krawędzi nie zmieniając wartości najkrótszych ścieżek. W tym celu każdej krawędzi ${\displaystyle (u,v)}$ o wadze ${\displaystyle w(u,v)}$ przypisz nową wagę ${\displaystyle w(u,v)+d[u]-d[v].}$
• Usuń początkowo dodany węzeł ${\displaystyle q.}$
• Użyj algorytmu Dijkstry dla każdego wierzchołka w grafie^[1].

Przypisy

Bibliografia

• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Wprowadzenie do algorytmów. Wyd. VII. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2019, s. 714-719.