Algorytm Rungego-Kutty

Algorytm Rungego-Kutty (metoda Rungego-Kutty) – metoda numeryczna do iteracyjnego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Stosowana głównie w symulacjach fizycznych. Opracowana około 1900 przez niemieckich matematyków: Carla Rungego oraz Martina Kuttę.

Obecnie nazwą metody Rungego-Kutty określa się rodzinę jawnych i niejawnych metod wielokrokowych, jak również pewne ich modyfikacje. Potocznie metodą Rungego-Kutty, określa się metodę Runge-Kutty 4. rzędu ze współczynnikami podanymi poniżej. Istnieje wiele metod RK, o wielu stopniach, wielu krokach, różnych rzędach, i różniących się między sobą innymi własnościami (jak stabilność, jawność, niejawność, metody osadzone, szybkość działania itp.). Metoda Rungego-Kutty 4. rzędu jest powszechnie stosowana ze względu na prostotę implementacji, relatywnie proste wzory, dużą szybkość oraz wysoki rząd metody.

Metoda RK 4. rzędu

Mamy równanie postaci: ${\displaystyle y'=f(x,y).}$ Znamy początkową wartość y: ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$ i chcemy poznać kolejne wartości y.

Przyjmując dowolne h, będące wielkością kroku całkowania, iteracyjny wzór na y według metody Rungego-Kutty 4. rzędu to:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\Delta y_{n}},}$

${\displaystyle {\Delta y_{n}}={\frac {1}{6}}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}),}$

gdzie:

${\displaystyle k_{1}=hf\left(x_{n},y_{n}\right),}$

${\displaystyle k_{2}=hf\left(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{1}}{2}}\right),}$

${\displaystyle k_{3}=hf\left(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{2}}{2}}\right),}$

${\displaystyle k_{4}=hf\left(x_{n}+h,y_{n}+k_{3}\right).}$

Jak widać, wartość (y_n+1) zależy od wartości (y_n) i h.

W ten sposób otrzymujemy, podobnie jak w innych iteracyjnych metodach rozwiązywania równań różniczkowych kolejne punkty, które przybliżają rozwiązanie.

Metoda RK 2. rzędu

Istnieje cała klasa metod RK 2. rzędu, z czego z nazwy wyróżnia się przynajmniej dwie metody.

Jawna metoda RK 2, znana jako metoda punktu pośredniego (ang. midpoint method)

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {1}{2}}k_{1}\right).}$

Oznaczenia takie same.

Metoda Eulera, czyli metoda RK 1. rzędu

Metoda Eulera jest szczególnym przypadkiem metod Runge-Kutty (metoda Eulera pojawiła się historycznie najpierw, w związku z tym zachowano tradycyjną nazwę):

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+k_{1}.}$

Oznaczenia takie same jak poprzednio.

Zobacz też

• całkowanie numeryczne

Linki zewnętrzne

• MyPhysicsLab – Runge-Kutta Algorithm – omówienie (w języku angielskim)
• Numerical Recipes in C – Runge-Kutta Method – algorytm w języku C