Arytmetyka odcinków (Kartezjusz)

Arytmetyka odcinków (w ujęciu Kartezjusza) – archaiczne pojęcie matematyczne geometrii i algebry, polegające na odkrywaniu i dowodzeniu własności algebraicznych (jak np. własności dodawania, mnożenia, pierwiastkowania liczb, poszukiwanie pierwiastków równań algebraicznych) poprzez konstrukcje geometryczne, głównie za pomocą odcinków (zwanych w tej koncepcji wielkościami).

Stworzony przez arytmetykę odcinków pomost pomiędzy geometrią i algebrą obrazuje następujący cytat Kartezjusza:

Często jednak nie jest konieczne rysowanie tych linii na papierze i wystarczy tylko oznaczyć każdą z nich odrębną literą. I tak, aby dodać linie i nazywam jedną drugą i piszę Następnie będzie oznaczało, że od odjęto że jest pomnożona przez że jest podzielona przez lub że pomnożono przez siebie; że poprzedni wynik jest pomnożony przez i tak dalej w nieskończoność. Podobnie, gdy chcę wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z piszę gdy chcę wyciągnąć pierwiastek sześcienny z piszę i podobnie z innymi pierwiastkami.

Arytmetyka odcinków w Geometrii

Pierwsza strona Geometrii, stanowiąca wstęp do arytmetyki odcinków

Swoją arytmetykę odcinków zdefiniował Kartezjusz w Geometrii (1637), w księdze pierwszej (O problemach, w których linie proste i okręgi wystarczą do przeprowadzenia konstrukcji)[2]. Sama struktura dzieła (tytuły początkowych paragrafów Księgi Pierwszej Geometrii) świadczy o tematyce, jaka jest w tej księdze poruszana:

  • Jak rachunek arytmetyczny odnosi się do działań geometrycznych[2],
  • Mnożenie [3],
  • Dzielenie[3],
  • Wyciąganie pierwiastka[3],
  • Jak używać znaków w geometrii[4].

Wszystkie problemy geometrii da się łatwo sprowadzić do takich wyrażeń, że wystarczy znać długości pewnych linii prostych, aby przeprowadzić ich konstrukcje

[2] (pierwsze zdanie „Geometrii”)

Związek arytmetyki odcinków Kartezjusza z arytmetyką odcinków Euklidesa

W arytmetyce odcinków Kartezjusza widać wyraźne wpływy antycznej arytmetyki odcinków, ale także nowe myśli (dużo bliższe współczesnej matematyce)[5][6]. O związkach z teorią proporcji Euklidesa świadczą takie sformułowania, jak np.: znaleźć średnią proporcjonalną albo znaleźć czwartą linię, która będzie do jednej z tych danych, tak jak druga jest do jedności[7]. Nowymi pojęciami jest odcinek jednostkowy i działania na odcinkach (mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie)[7]. Nowością są także stosowane przez Kartezjusza oznaczenia i notacje[8].

Kolejną rewolucyjną kwestią odróżniającą arytmetykę odcinków Kartezjusza od antycznych konstrukcji Euklidesa jest to, iż Kartezjusz stara się sprowadzać wszystkie wielkości do odcinków[9][4] – dla Euklidesa oznaczało prostokąt o bokach i a dla Kartezjusza jest odcinkiem o długości [6][10][11].

Odcinek jednostkowy

(...) mając jedną [linię], którą nazwę jednością, aby upodobnić ją jak to tylko możliwe do liczb i która w zasadzie może być dowolnie wybrana (...)

Kartezjusz wskazuje na odcinek jednostkowy jako taki, dla którego [12]. Nie podaje osobno tego faktu, lecz od razu używa tej własności przy opisywaniu pierwiastkowania odcinków[12]:

gdy trzeba będzie wyciągnąć pierwiastek sześcienny z należy przyjąć, że wielkość jest podzielona raz przez jedność, a wielkość jest pomnożona dwa razy przez jedność.

Działania w arytmetyce odcinków (oryginalne słowa Kartezjusza)

I nie zawaham się wprowadzić do geometrii tych wyrażeń arytmetycznych w celu osiągnięcia większej jasności.

Mnożenie

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca mnożeniu i dzieleniu odcinków

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest mnożenie odcinków, w następujący sposób:

(...) mając jedną, którą nazwę jednością (...), a następnie mając dwie inne, znaleźć czwartą linię, która będzie do jednej z tych danych, tak jak druga jest do jedności, co jest tym samym co mnożenie (...)

Następnie opisuje dokładną konstrukcję tego działania:

Dla przykładu, niech AB będzie jednością i niech zadanie polega na pomnożeniu BD przez BC. Muszę tylko połączyć punkty A i C, następnie poprowadzić DE, równoległą do CA; wówczas BE jest iloczynem BD oraz BC.

Dzielenie

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca mnożeniu i dzieleniu odcinków

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest dzielenie odcinków, w następujący sposób:

(...) mając jedną, którą nazwę jednością (...), a następnie mając dwie inne, (...) znaleźć czwartą linię, która będzie do jednej z nich, tak jak jedność jest do drugiej, co jest tym samym co dzielenie (...)

Następnie opisuje dokładną konstrukcję tego działania:

(...) niech AB będzie jednością (...). Gdy należy podzielić BE przez BD, łączę punkty E i D, prowadzę AC, równoległą do DE, i BC jest wynikiem tego dzielenia.

Wyciąganie pierwiastka z odcinka

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest pierwiastkowanie odcinków, w następujący sposób:

(...) znaleźć jedną lub dwie, lub kilka średnich proporcjonalnych między jednością i jakąś inną linią, co jest tym samym co wyciąganie pierwiastka kwadratowego lub sześciennego z danej linii (...)

Pierwiastek kwadratowy z odcinka

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca pierwiastkowaniu odcinków,

Następnie opisuje dokładną konstrukcję wyciągania pierwiastka kwadratowego z odcinka:

(...) gdy należy wyznaczyć pierwiastek kwadratowy z GH, dodaję w linii prostej FG równą jedności, dzielę FH na dwie równe części w punkcie K, zakreślam okrąg FIH o środku w K, następnie z punktu G prowadzę linię prostą i przedłużam ją aż do I pod kątami prostymi do FH; szukanym pierwiastkiem jest GI.

Pierwiastki wyższych stopni

Kartezjusz przedstawia konstrukcje nieklasyczne pierwiastków wyższych stopni, pisząc:

  • o pierwiastkach trzeciego stopnia:

(...) wyciągnięcie pierwiastka sześciennego, czego zwykle nie da się zrobić bez użycia co najmniej jednego z przekrojów stożka.

  • o pierwiastkach czwartego stopnia:

(...) równanie wzrosło tylko do kwadratu kwadratu; można je zawsze rozwiązać za pomocą przekrojów stożka (...)

  • o pierwiastkach szóstego stopnia:

(...) równanie wzrosło tylko do kwadratu sześcianu, w wyniku czego można je rozwiązać za pomocą jednej linii, która jest tylko o jeden stopnień bardziej złożona od przekrojów stożka (...)


Współczesne wyjaśnienie arytmetyki odcinków Kartezjusza

W arytmetyce odcinków zdefiniowanej w Geometrii występuje kilka nieścisłości[6][15][16]. Nie wiadomo, czy następujące związki arytmetyki z teorią proporcji:

  • z proporcji Kartezjusz wnioskuje: „wówczas jest iloczynem oraz [3][17][15][18][16];
  • z proporcji Kartezjusz wnioskuje: „ jest wynikiem dzielenia przez [3][19][15][20][16]
  • z proporcji Kartezjusz wnioskuje, że średnia proporcjonalna jest pierwiastkiem z [3][21][15][22][16]

są dla Kartezjusza definicjami, czy twierdzeniami[6][15][16].

Przyjmując, że te równości są definicjami, można współcześnie jasnym językiem przedstawić konstrukcje oparte na arytmetyce odcinków[16]. W poniższych sekcjach stosowane zapisy matematyczne są częściowo uwspółcześnione, dla łatwiejszego zrozumienia przedstawianych konstrukcji i dowodów rozumowań. W dowodach będziemy stosować definicje arytmetyki odcinków oraz własności proporcji z Elementów Euklidesa.

Mnożenie

Iloczyn odcinków oraz konstruujemy w sposób następujący[23]. Oba odcinki odkładamy odpowiednio na dwóch różnych ramionach kąta[23] (jak na rysunku powyżej). Łączymy końce odcinków i a następnie konstruujemy równoległą do powstałego odcinka, przechodzącą przez koniec odcinka [23].

Przyjmijmy następującą definicję mnożenia w arytmetyce odcinków:

[23].

Konstrukcja przedstawiona powyżej spełnia tę definicję mnożenia[23].

Definicja ta jest jednoznaczna[24].

Dowód.

Niech oraz oznaczają iloczyn odcinków i uzyskany w różnych konstrukcjach[24]. Wtedy, z definicji, mamy:

[24].

Z tych dwóch proporcji wynika, że:

[24].

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

[24]. q.e.d.

Element neutralny mnożenia

Rene03.png

Wykażemy, że [25]. Posłużymy się do tego konstrukcją z rysunku powyżej[25].

Dowód.

Odcinek wyznaczony jest poprzez proporcję:

[25].

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

[25]. q.e.d.

Przemienność mnożenia

Rene04.png

Wykażemy, że mnożenie odcinków jest przemienne[25].

Dowód.

Na podstawie definicji mnożenia odcinków mamy następujące dwie proporcje:

[25].

Dzięki twierdzeniu V.23 z powyższych dwóch proporcji otrzymamy:

[25].

Twierdzenie V.9 sprawia, że z powyższej proporcji otrzymujemy:

[25]. q.e.d.

Dzielenie

Iloraz odcinków oraz konstruujemy w sposób następujący[20][26]. Oba odcinki odkładamy odpowiednio na dwóch różnych ramionach kąta[20][26] (jak na rysunku powyżej). Łączymy końce odcinków i a następnie konstruujemy równoległą do powstałego odcinka, przechodzącą przez koniec odcinka [20][26].

Przyjmijmy następującą definicję dzielenia w arytmetyce odcinków:

[27].

Przedstawiona powyżej konstrukcja spełnia tę definicję[26]

Element odwrotny

Rene06.png

Proporcja

wyznacza odcinek [27]. Powyższy rysunek przedstawia odpowiednią konstrukcję[26]. Konstrukcja ta również pokazuje, że:

[27].

Dzielenie przez 1

Rene07.png

Zauważając, że:

otrzymujemy:

[27].

Proporcja

Arytmetykę odcinków Kartezjusza można powiązać z antyczną arytmetyką odcinków Euklidesa, zapisując proporcje Euklidesa, językiem Kartezjusza, co jest możliwe dzięki poniższym twierdzeniom[28].

Proporcja jako iloraz

proporcja ⇒ iloraz. Dowód algebraiczny.

Niech zachodzi proporcja:

[26].

Na podstawie definicji dzielenia odcinków otrzymamy:

[26].

Z tych trzech proporcji wynika następujący fakt:

[26].

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

[26]. q.e.d.
Rene14.png
proporcja ⇒ iloraz. Dowód geometryczny.

Niech zachodzi proporcja:

[26].

Na podstawie twierdzenia VI.2 wiemy, że proste przechodzące przez krańce odcinków oraz są równoległe[26]. Konstrukcja ułamka wymaga poprowadzenia prostej równoległej, przechodzącej przez ale ponieważ obie proste są równoległe, to oba ułamki wyznaczają ten sam punkt[26]. Zatem:

[26]. q.e.d.
iloraz ⇒ proporcja. Dowód.

Niech [26]. Wtedy wszystkie odcinki łączące punkty (na rysunku powyżej) są równoległe[30]. Stąd, na podstawie twierdzenia VI.2. otrzymujemy:

[26]. q.e.d.

Proporcja jako iloczyn

Rene15.png

W podobny sposób można uzasadnić równoważność proporcji z odpowiednim iloczynem odcinków[28]. W tym celu wystarczy zauważyć, że:

[28].

Potęgowanie

Rene05.png

Kolejne potęgi odcinka można tworzyć na podstawie definicji mnożenia dwóch odcinków, przyjmując że oba są równe [31]. Innym sposobem konstrukcji kolejnych potęg jest użycie do tego celu mezolabium[27].

Pierwiastkowanie

Rene13.png

Można przyjąć następujące definicje pierwiastkowania:

  • [32]
  • [33]
  • [33]
  • itp.

Pierwiastek kwadratowy można skonstruować sposobem ukazanym na pierwszym rysunku lub poprzez mezolabium[32]. Dzięki mezolabium można skonstruować także oraz pierwiastki wyższych stopni[32].

Ciało odcinków

Arytmetyka odcinków Kartezjusza może stworzyć ciało uporządkowane[34].

Warstwa językowa i symboliczna arytmetyki odcinków Kartezjusza

Z symbolami takimi jak np. Kartezjusz łączy tradycyjne nazewnictwo oraz nowe znaczenia[9].

Należy zaznaczyć, że przez lub i podobne wyrażenia rozumiem zwykle jedynie linie proste, jakkolwiek w celu posłużenia się nazwami używanymi w algebrze nazywam je kwadratami lub sześcianami itd.

Następnie deklaruje, że w odniesieniu do wyrażeń tudzież zachowa tradycyjne nazwy geometryczne (czyli kwadrat oraz sześcian), ale jednocześnie nada im zupełnie nowy sens – i są odcinkami utworzonymi na podstawie definicji iloczynu[10]. Podobne dwuznaczności wiążą się z symbolem [10]. Symbol ten był stosowany przez Kartezjusza i innych XVII-wiecznych algebraików, na przykład Johna Wallisa[10]. Wszędzie, poza Geometrią, oznaczał on prostokąt o bokach [10]. W La Géometrie wyrażenie również jest nazywane prostokątem, choć w rzeczywistości oznacza odcinek [10].

Przypisy

  1. Kartezjusz ↓, s. 166.
  2. a b c d e Kartezjusz ↓, s. 297.
  3. a b c d e f g h i j k Kartezjusz ↓, s. 298.
  4. a b c d Kartezjusz ↓, s. 299.
  5. Kartezjusz ↓, s. 146–147.
  6. a b c d Kartezjusz ↓, s. 148–151.
  7. a b Kartezjusz ↓, s. 147.
  8. Kartezjusz ↓, s. 15.
  9. a b Kartezjusz ↓, s. 168.
  10. a b c d e f Kartezjusz ↓, s. 169.
  11. Kartezjusz ↓, s. 153.
  12. a b Kartezjusz ↓, s. 148.
  13. Kartezjusz ↓, s. 297–298.
  14. a b c Kartezjusz ↓, s. 314.
  15. a b c d e Kartezjusz ↓, s. 152.
  16. a b c d e f g h i j k Kartezjusz ↓, s. 156.
  17. Kartezjusz ↓, s. 148–149.
  18. Kartezjusz ↓, s. 152–153.
  19. Kartezjusz ↓, s. 149.
  20. a b c d Kartezjusz ↓, s. 153–154.
  21. Kartezjusz ↓, s. 149–150.
  22. Kartezjusz ↓, s. 154.
  23. a b c d e Kartezjusz ↓, s. 157.
  24. a b c d e Kartezjusz ↓, s. 158.
  25. a b c d e f g h Kartezjusz ↓, s. 159.
  26. a b c d e f g h i j k l m n o Kartezjusz ↓, s. 161.
  27. a b c d e Kartezjusz ↓, s. 160.
  28. a b c Kartezjusz ↓, s. 162.
  29. Kartezjusz ↓, s. 156–157.
  30. Kartezjusz ↓, s. 161–162.
  31. Kartezjusz ↓, s. 159–160.
  32. a b c Kartezjusz ↓, s. 163.
  33. a b Kartezjusz ↓, s. 164.
  34. Kartezjusz ↓, s. 165.

Bibliografia

  • Kartezjusz: Geometria. Tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk i Kazimierz Mrówka. Kraków: TAiWPN Universitas, 2015. ISBN 978-83-242-2759-4.

Media użyte na tej stronie

Rene03.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Konstrukcja na podstawie arytmetyki odcinków Kartezjusza
Rene13.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Kartezjusza konstrukcja arytmetyki odcinków
Euklidess.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Euklidesa konstrukcja VI.2.
Rene02.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Konstrukcja na podstawie arytmetyki odcinków Kartezjusza
Rene06.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Konstrukcja na podstawie arytmetyki odcinków Kartezjusza
Geometrie arrel quadrada.png
Arrel quadrada a la Geometria de Descartes
Rene04.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Konstrukcja na podstawie arytmetyki odcinków Kartezjusza
Rene10.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Konstrukcja na podstawie arytmetyki odcinków Kartezjusza
Rene07.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Konstrukcja na podstawie arytmetyki odcinków Kartezjusza
Rene09.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Konstrukcja na podstawie arytmetyki odcinków Kartezjusza
Rene01.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Konstrukcja na podstawie arytmetyki odcinków Kartezjusza
Rene14.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Kartezjusza arytmetyka odcinków
Rene08.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Konstrukcja na podstawie arytmetyki odcinków Kartezjusza
Rene12.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Kartezjusza konstrukcja arytmetyki odcinków
Rene15.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Kartezjusza arytmetyka odcinków
Rene11.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Kartezjusza konstrukcja arytmetyki odcinków
Geometrie multiplicacio i divisió.png
Multiplicació i divisió a la Geometria de Descartes
Rene05.png
Autor: Mariusz Swornóg, Licencja: CC BY-SA 4.0
Konstrukcja na podstawie arytmetyki odcinków Kartezjusza