Asymptota

Funkcja ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}+x}$ ma dwie asymptoty: ${\displaystyle y=x}$ oraz ${\displaystyle x=0.}$

Krzywa może przecinać asymptotę również nieskończoną liczbę razy

Na powyższym rysunku, funkcja ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ ma dwie asymptoty: ${\displaystyle x=0}$ oraz ${\displaystyle y=0,}$ które są obustronne

Asymptota krzywej (gr. ἀσύμπτοτη, „nie stykać się”) – prosta ${\displaystyle l}$ jest asymptotą danej krzywej ${\displaystyle C}$ (w szczególności wykresu funkcji), jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej ${\displaystyle C}$ odległość tego punktu od prostej ${\displaystyle l}$ dąży do zera^[1].

Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji.

Jeśli krzywa dana jest w postaci ${\displaystyle y=f(x),}$ gdzie ${\displaystyle f}$ jest funkcją, która nie jest określona w punkcie ${\displaystyle x=a,}$ to ma ona w tym punkcie asymptotę pionową, jeżeli istnieje granica niewłaściwa:

• ${\displaystyle \lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty }$ (asymptota lewostronna)
• ${\displaystyle \lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty }$ (asymptota prawostronna)
• ${\displaystyle \lim _{x\to a_{-}}f(x)=\pm \infty \wedge \lim _{x\to a_{+}}f(x)=\pm \infty }$ (asymptota obustronna; w szczególności jedna granica może być równa ${\displaystyle +\infty }$ a druga ${\displaystyle -\infty }$)

Parametry asymptoty poziomej i ukośnej ${\displaystyle y=ax+b}$ dla krzywej danej w postaci ${\displaystyle y=f(x)}$ można wyznaczyć jako granice:

• w przypadku asymptoty prawostronnej:

${\displaystyle a=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}}$

oraz

${\displaystyle b=\lim _{x\to +\infty }(f(x)-ax)}$

• w przypadku asymptoty lewostronnej:

${\displaystyle a=\lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}}$

oraz

${\displaystyle b=\lim _{x\to -\infty }(f(x)-ax)}$

Jeśli przynajmniej jedna z granic wyznaczających ${\displaystyle a}$ lub ${\displaystyle b}$ nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej, ani poziomej. Jeśli ${\displaystyle a=0,}$ to wyznaczona asymptota jest pozioma – równoległa do osi odciętych.

Zobacz też

• granica funkcji

Przypisy

Bibliografia

• Encyklopedia szkolna. Matematyka. Warszawa: WSiP, 1990, s. 14. ISBN 83-02-02551-8.