Atlas (matematyka)

Atlas – kolekcja map, przypisanych pewnej rozmaitości, taka że każdemu podzbiorowi rozmaitości przypisana jest jakaś mapa (zwanej też: mapą współrzędnych lub lokalnym układem współrzędnych). Istnieje wiele możliwych atlasów, jakie można utworzyć dla danej rozmaitości. Atlas opisuje sposób, w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową.

Definicja mapy

Przedstawienie dwóch zgodnych map na rozmaitości wraz z przekształceniem przejścia. Zbiór ${\displaystyle U_{\alpha }}$ zaznaczono na czerwono, ${\displaystyle U_{\beta }}$ na niebiesko, a ich część wspólną ${\displaystyle U_{\alpha ,\beta }}$ na fioletowo; przekształcenie przejścia ${\displaystyle \varphi _{\alpha ,\beta }}$ (strzałka po prawej) jest zdefiniowane jako złożenie ${\displaystyle \varphi _{\alpha }^{-}1}$ (${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ to górna strzałka) oraz ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$ (dolna strzałka).

Niech dana będzie rozmaitość ${\displaystyle M}$ o wymiarze ${\displaystyle n.}$ Niech ${\displaystyle U}$ będzie otwartym podzbiorem ${\displaystyle M.}$

Mapą na rozmaitości ${\displaystyle M}$ w otoczeniu ${\displaystyle U}$ nazywa się parę ${\displaystyle (U,\varphi ),}$ gdzie

${\displaystyle \varphi \colon U\to V}$

jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór ${\displaystyle V}$ przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Sklejanie map (przekształcenie przejścia)

Dla dwóch map ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$ i ${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$ na ${\displaystyle M}$ o tej własności, że zbiór

${\displaystyle U_{\alpha ,\beta }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$

jest niepusty, definiuje się przekształcenie przejścia („sklejenie”)

${\displaystyle \varphi _{\alpha ,\beta }\colon \varphi _{\alpha }(U_{\alpha ,\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha ,\beta })}$

dane wzorem:

${\displaystyle \varphi _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$

Przekształcenia ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ i ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$ są homeomorfizmami, więc ich przekształcenia przejścia są również homeomorfizmami. W ten sposób przekształcenia przejścia również są wyposażone w pewien rodzaj zgodności w tym sensie, iż przejście od układu współrzędnych zadanego jedną z map do układu współrzędnych zadanego na drugiej jest ciągłe.

Zgodność gładka map

Dwie nakładające się mapy ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$ oraz ${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$ nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli przekształcenie przejścia między nimi jest nieskończenie wiele razy różniczkowalne.

Definicja atlasu

Zbiór ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\big \{}(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }){\big \}}}$ map na ${\displaystyle M,}$ które stanowią pokrycie zbioru ${\displaystyle M,}$ tj. ${\displaystyle \bigcup U_{\alpha }=M,}$ nazywany jest atlasem rozmaitości ${\displaystyle M.}$

Jeśli przeciwdziedziny wszystkich map są ${\displaystyle n}$-wymiarowymi przestrzeniami euklidesowymi o tym samym wymiarze ${\displaystyle n,}$ to o rozmaitości ${\displaystyle M}$ mówimy, że jest rozmaitością ${\displaystyle n}$-wymiarową.

Własność atlasu

Każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej ma atlas przeliczalny (twierdzenie Lindelöfa).

Atlas gładki. Atlasy zgodne. Atlas maksymalny.

1) Atlasem gładkim na ${\displaystyle M}$ nazywa się atlas, dla którego żąda się dodatkowo, by dla dowolnych dwóch nakładających się map na ${\displaystyle M}$ przekształcenie przejścia między nimi było zgodne w sposób gładki.

2) Atlasy ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ oraz ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ na ${\displaystyle M}$ nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli wszystkie mapy z ${\displaystyle {\mathcal {A}},}$ które nakładają się na mapy z ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ są zgodne w sposób gładki.

3) Atlas ${\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}}$ utworzony z atlasów ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ oraz ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ zgodnych w sposób gładki również jest atlasem gładkim na ${\displaystyle M.}$

4) Atlasem maksymalnym nazywa się relację równoważności atlasów zgodnych w sposób gładki.

5) Rozmaitości ${\displaystyle M}$ wraz z atlasem maksymalnym nazywa się rozmaitością o gładkiej strukturze.

Istnieją przykłady rozmaitości topologicznych wyższych wymiarów mające wiele różnych struktur gładkich. Jednym z pierwszych przykładów było odkrycie Johna Milnora sfery egzotycznej – 7-rozmaitości homeomorficznej, lecz nie dyfeomorficznej z 7-sferą.

W ogólności działanie na atlasach maksymalnych rozmaitości jest niewygodne; do pracy wystarczy wybrać jeden atlas gładki. Atlasy maksymalne potrzebne są do jednoznacznego zdefiniowania przekształceń gładkich z jednej rozmaitości w drugą.

Struktura niegładka i analityczna

Wymagania różniczkowalności funkcji przejścia można osłabić, wymagając jedynie, by były one różniczkowalne w sposób ciągły tylko ${\displaystyle k}$-krotnie; można jest także wzmocnić, aby były analityczne (w sensie rzeczywistym). Daje to odpowiednio strukturę C^k lub strukturę analityczną na rozmaitości zamiast struktury gładkiej.

Podobnie definiuje się struktury różniczkowe na rozmaitości zespolonej, wymagając, by przekształcenia przejścia były holomorficzne.

Zobacz też

• dyfeomorfizm
• pierścień bordyzmu

Bibliografia

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, 2006. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Mark R. Sepanski: Compact Lie Groups. Springer-Verlag, 2007. ISBN 978-0-387-30263-8.

Linki zewnętrzne

• ToddT. Rowland ToddT., Atlas, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-14]  (ang.).