Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny (lub postęp geometryczny) – ciąg liczbowy (skończony bądź nieskończony), którego każdy kolejny wyraz od drugiego począwszy jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej nazywanej ilorazem ciągu^[1]. Ciąg geometryczny można traktować jako multiplikatywną wersję ciągu arytmetycznego.

Formalnie:

Niech ${\displaystyle I=\{1,2,3,\dots ,n\}}$ lub ${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$
Ciąg liczbowy ${\displaystyle (a_{n})_{n\in I}}$ nazywa się ciągiem geometrycznym, jeśli istnieje stała ${\displaystyle q}$ zwana ilorazem ciągu, dla której zachodzi wzór^[2]

${\displaystyle a_{n}=q\cdot a_{n-1},}$

dla każdego ${\displaystyle n>1.}$

Jeśli ${\displaystyle q\neq 0,\,a_{1}\neq 0,}$ to powyższy wzór można zapisać w postaci

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}=q,}$

co tłumaczy nazwę liczby ${\displaystyle q.}$

Przykłady

• Ciąg ${\displaystyle (1,3,9,27,81,\dots )}$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie ${\displaystyle 3.}$
• Ciąg ${\displaystyle (-4,2,-1,{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{4}},\dots )}$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}.}$
• Ciąg ${\displaystyle (5,0,0,0,0,\dots )}$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie ${\displaystyle q=0.}$

Własności

Ponieważ

${\displaystyle a_{n}=qa_{n-1},}$

to prawdziwy jest też wzór

${\displaystyle a_{n}=q^{n-1}a_{1}.}$

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, prócz pierwszego (oraz ostatniego, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich: jeśli ${\displaystyle a_{i-1},a_{i},a_{i+1}}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego ${\displaystyle (a_{n}),}$ to prawdziwy jest wzór

${\displaystyle a_{i}^{2}=a_{i-1}a_{i+1}.}$

Ciąg geometryczny o dodatnim ilorazie jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest dodatni, a iloraz jest

• równy 0, to ciąg jest stały oraz zbieżny do zera.
• równy 1, to ciąg jest stały oraz zbieżny do pierwszego wyrazu.
• równy −1, to ciąg jest naprzemienny, a przez to rozbieżny (granicami górnymi i dolnymi są pierwsze dwa wyrazy).
• większy od 1, to wyrazy ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny do nieskończoności.
• mniejszy od −1, to moduły wyrazów ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy).
• większy od 0, mniejszy od 1, to wyrazy maleją wykładniczo – ciąg jest zbieżny do zera.
• mniejszy od 0, większy od −1, to wyrazy maleją wykładniczo (co do modułu) – ciąg jest zbieżny do zera.

Suma wyrazów

Jeśli dany jest ciąg geometryczny ${\displaystyle (a_{n})}$ o ilorazie ${\displaystyle q\neq 1,}$ suma ${\displaystyle n}$ pierwszych wyrazów ciągu jest dana jako^[2]

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}q^{k-1}a_{1}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}.}$

Jeśli ciąg ${\displaystyle (a_{n})}$ jest nieskończony, to można rozpatrywać sumę szeregu o wyrazach będących elementami ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ – zob. szereg geometryczny.

Zobacz też

• ciąg arytmetyczny
• szereg geometryczny

Przypisy