Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki

Bryła w trójwymiarze

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki – jeden z wielościanów archimedesowych, zbudowany z 62 ścian – 30 kwadratowych, 20 sześciokątnych i 12 dziesięciokątnych, ma 120 wierzchołków i 180 krawędzi.

Oznaczany jest symbolem Schläfliego ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$ i symbolem Wythoffa ${\displaystyle 235|.}$ Wielościanem dualnym do tej bryły jest dwudziestościan szóstkowy^{[1][2][3][4][5][6][7]}.

Wśród wszystkich wielościanów archimedesowych o tej samej długości krawędzi, ta bryła ma największą objętość i pole powierzchni^[1][2][3].

Wielościan jest zonościanem (ang. zonohedron, vide:[1])^[1].

Bryłę tę skonstruował przy pomocy origami E. K. Herrstrom – konstrukcja wykorzystuje 900 jednostek sonobè^[1].

Obracająca się bryła

Wzory i właściwości

Niech ${\displaystyle a}$ będzie długością krawędzi bryły.

• Pole powierzchni całkowitej

${\displaystyle S=30(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})a^{2}}$^[1][3]

• Objętość

Siatka bryły

${\displaystyle V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\approx 206{,}803a^{3}}$^[1][3]

• Promień kuli opisanej

${\displaystyle R_{1}={\frac {a}{2}}{\sqrt {31+11{\sqrt {5}}}}\approx 3{,}80a}$^[3], z czego wynika, że objętość kuli opisanej na bryle wynosi ${\displaystyle {\frac {4\pi {R_{1}}^{3}}{3}},}$ czyli około ${\displaystyle 230{,}28a^{3}}$^[3]

• Promień kuli wpisanej

${\displaystyle R_{2}={\frac {a}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 3{,}44a,}$ a więc objętość tej kuli można wyrazić wzorem ${\displaystyle {\frac {4\pi {R_{2}}^{3}}{3}},}$ i wynosi ona w przybliżeniu ${\displaystyle 170{,}65a^{3}}$^[3]

• Dystans normalny od środka bryły do jej ścian możemy wyrazić następującymi wzorami:
  • dla ściany kwadratowej ${\displaystyle {\frac {3+2{\sqrt {5}}a}{2}}\approx 3{,}74a}$^[3]
  • dla ściany sześciokątnej ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+(2+{\sqrt {5}})a}{2}}\approx 3{,}67a}$^[3]
  • dla ściany dwunastokątnej ${\displaystyle R_{2}={\frac {a}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 3{,}44a}$^[3]

• Niech ${\displaystyle \rho }$ oznacza odległość od krawędzi do środka bryły. Opiszmy na bryle dwunastościan, i oznaczmy jego krawędź jako ${\displaystyle b,}$ dwudziestościan, którego krawędź oznaczymy jako ${\displaystyle c}$ oraz trzydziestościan rombowy, którego przekątna dłuższej ściany będzie posiadała oznaczenie ${\displaystyle d.}$ Zachodzą wtedy następujące równości:
  • ${\displaystyle {\frac {a}{\rho }}={\sqrt {2}}{\frac {\operatorname {tg} 18^{\circ }}{\sqrt {3}}}={\sqrt {\frac {10-4{\sqrt {5}}}{15}}}}$^[6]
  • ${\displaystyle {\frac {a}{R_{1}}}=2{\sqrt {\frac {31-12{\sqrt {5}}}{241}}}}$^[6]
  • ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{10}}}$^[6]
  • ${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{6}}}$^[6]
  • ${\displaystyle {\frac {a}{d}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{22}}}$^[6]

Powiązane obiekty

Z bryłą powiązanych jest wiele innych obiektów geometrycznych: wielościany z [5, 3] grupy Coxetera, parkietaże: euklidesowy, hiperboliczny, sferyczny. Istnieją też różne rzuty bryły i owych parkietaży^[1][2][3]. Z bryła powiązany jest graf.

Graf

Ilustracja przedstawia graf zero-symetryczny utworzony z bryły^[8].

Powiązane wielościany i parkietaże

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [5, 3] grupą Coxetera^[1][2][3].

Wielościan								Parkietaż euklidesowy	Parkietaż hiperboliczny
Diagram Coextera	[5, 3]	t[5, 3]	r[5, 3]	t[3, 5]	[3, 5]	rr[5, 3]	tr[5, 3]	[6, 3]	[7, 3]	[8, 3]
Odpowiadający obiekt	Dwunastościan	Dwunastościan ścięty	Dwudziesto-dwunastościan	Dwudziestościan ścięty	Dwudziestościan	Dwudziesto-dwunastościan rombowy mały	Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki

Rzuty ortogonalne

Przykłady kilku rzutów ortogonalnych dwudziesto-dwunastościanu rombowego wielkiego.Wycentrowane na wierzchołek, trzy typy krawędzi oraz trzy rodzaje ścian bryły^[3].

Rzuty ortogonalne bryły
Rzut wycentrowany na	Wierzchołek	Krawędzie 4-6	Krawędzie 4-10	Krawędzie 6-10	Ściana kwadratowa	Ściana sześciokątna	Ściana dziesięciokątna
Obraz

Parkietaże sferyczne i diagramy Schlegela

Dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki może być też ukazany jako element parkietażu sferycznego oraz podobnego diagramu Schlegela.

Bryła jako parkietaż sferyczny i diagram Schlegela, oraz rzuty tych obiektów
	Rzut ortograficzny	R. stereograficzny wycentrowany na:
		dziesięciokąt	sześciokąt	kwadrat
Jako parkietaż sferyczny
Jako diagram Schlegela

Przypisy

Linki zewnętrzne

Informacje o bryle

• Dogłębna analiza autorstwa H.Ch. Rajpoota
• http://polyhedra.mathmos.net/entry/greatrhombicosidodecahedron.html – Informacje przeglądowe, stosunki krawędzi do opisanych brył
• http://bulatov.org/polyhedra/uniform/u72.html – Podstawowe informacje i ilustracja

Strony z siatką bryły do wydruku

• http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=rhombicosidodecahedron
• http://www.maths-pro.com/New%20Polyhedra%20books/Polyhedra%20book%202012%20GPP%20-%20V6.pdf Plik w formacie PDF, siatki i porady umieszczone są na stronach 31, 33, 85