Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne – funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych, będące przedmiotem badań trygonometrii.

Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych^[1] lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria.

Definicje

Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

Definicja z elementów trójkąta prostokątnego

Funkcje trygonometryczne można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):

Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji

• sinus – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \sin }$ – stosunek długości przyprostokątnej ${\displaystyle a}$ leżącej naprzeciw kąta ${\displaystyle \alpha }$ i długości przeciwprostokątnej ${\displaystyle c;}$^[2]
• cosinus (lub kosinus) – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \cos }$ – stosunek długości przyprostokątnej ${\displaystyle b}$ przyległej do kąta ${\displaystyle \alpha }$ i przeciwprostokątnej ${\displaystyle c;}$^[2]
• tangens – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \operatorname {tg} }$ – stosunek długości przyprostokątnej ${\displaystyle a}$ leżącej naprzeciw kąta ${\displaystyle \alpha }$ i długości przyprostokątnej ${\displaystyle b}$ przyległej do tego kąta^[2];
• cotangens (kotangens) ${\displaystyle ({\tfrac {1}{\operatorname {tg} }})}$ – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \operatorname {ctg} }$ – stosunek długości przyprostokątnej ${\displaystyle b}$ przyległej do kąta ${\displaystyle \alpha }$ i długości przyprostokątnej ${\displaystyle a}$ leżącej naprzeciw tego kąta^[2];
• secans (sekans) ${\displaystyle ({\tfrac {1}{\cos }})}$ – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \sec }$ – stosunek długości przeciwprostokątnej ${\displaystyle c}$ i długości przyprostokątnej ${\displaystyle b}$ przyległej do kąta ${\displaystyle \alpha ;}$ odwrotność cosinusa (nie mylić z funkcją odwrotną ${\displaystyle \arccos }$);
• cosecans (kosekans) ${\displaystyle ({\tfrac {1}{\sin }})}$ – oznaczany w Polsce jako ${\displaystyle \operatorname {cosec} }$ – stosunek długości przeciwprostokątnej ${\displaystyle c}$ i długości przyprostokątnej ${\displaystyle a}$ leżącej naprzeciw kąta ${\displaystyle \alpha ;}$ odwrotność sinusa (nie mylić z funkcją odwrotną ${\displaystyle \arcsin }$).

W innych krajach stosowane są inne nazwy funkcji trygonometrycznych.

Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki^[3]:

Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:

• sinus versus^[4]:

${\displaystyle \operatorname {versin} \alpha =1-\cos \alpha }$

• haversin (ang. half of the versine)^[5]:

${\displaystyle \operatorname {haversin} \alpha ={\tfrac {1}{2}}\operatorname {versin} \alpha }$

• cosinus versus^[6]:

${\displaystyle \operatorname {covers} \alpha =1-\sin \alpha }$

• exsecans^[7]:

${\displaystyle \operatorname {exsec} \alpha =\sec \alpha -1}$

Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi^[8][9][10].

Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw

Definicja na okręgu jednostkowym

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego ${\displaystyle \theta }$ wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków^[11]:

${\displaystyle \sin \theta =|AC|}$

${\displaystyle \cos \theta =|OC|}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \theta =|AE|}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \theta =|AF|}$

${\displaystyle \sec \theta =|OE|}$

${\displaystyle \operatorname {cosec} \theta =|OF|}$

Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku ${\displaystyle DA}$ można przyjąć pole wycinka ${\displaystyle OBDA}$ – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do ${\displaystyle OBDA}$^[12].

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

• Sinus, czyli połowa długości cięciwy ${\displaystyle AB,}$ był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva („połowa cięciwy”), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka^[13].
• Tangens pochodzi od łacińskiego tangere – dotykający, styczny, gdyż odcinek ${\displaystyle AE}$ jest styczny do okręgu.
• Secans pochodzi z łacińskiego secare – dzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka ${\displaystyle OE,}$ odcinanego przez styczną (tangens).
• Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego ${\displaystyle \angle AOF.}$ Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek „ko-” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje^[14].

Definicja za pomocą szeregu Taylora

Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne^[15]. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości^[16][17][18]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\tfrac {x^{3}}{3!}}+{\tfrac {x^{5}}{5!}}-{\tfrac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\tfrac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\\\cos x&=1-{\tfrac {x^{2}}{2!}}+{\tfrac {x^{4}}{4!}}-{\tfrac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\tfrac {x^{2n}}{(2n)!}},\\\operatorname {tg} x&=x+{\tfrac {x^{3}}{3}}+{\tfrac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad |x|<{\tfrac {\pi }{2}},\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle B_{n}}$ to liczby Bernoulliego,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ctg} x&={\tfrac {1}{x}}-{\tfrac {x}{3}}-{\tfrac {x^{3}}{45}}-{\tfrac {2x^{5}}{945}}-\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi ,\\\sec x&=1+{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {5x^{4}}{24}}+{\tfrac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n},\quad |x|<{\tfrac {\pi }{2}},\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle E_{n}}$ to liczby Eulera,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cosec} x&={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {x}{6}}+{\tfrac {7x^{3}}{360}}+{\tfrac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

Definicja za pomocą równań funkcyjnych

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych ${\displaystyle (s,c)}$ taka, że dla każdego ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} {:}}$

${\displaystyle {\begin{cases}s(x)^{2}+c(x)^{2}=1\\[2pt]s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)\\[2pt]c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y)\\[2pt]0<xc(x)<s(x)<x\ \mathrm {dla} \ 0<x<1\end{cases}}}$

Tymi funkcjami są^[19]:

${\displaystyle s(x)=\sin x,\quad c(x)=\cos x.}$

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować^[20] również jako jedyne funkcje ${\displaystyle s(x)}$ oraz ${\displaystyle c(x)}$ spełniające poniższe trzy warunki:

${\displaystyle {\begin{cases}s(x_{1}-x_{2})=s(x_{1})c(x_{2})-c(x_{1})s(x_{2})\\[2pt]c(x_{1}-x_{2})=c(x_{1})c(x_{2})+s(x_{1})s(x_{2})\\[2pt]\lim _{x\to 0}{\tfrac {s(x)}{x}}=1\end{cases}}}$

Definicja za pomocą równań różniczkowych

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

${\displaystyle y''=-y,}$

które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki^[21]:

${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=0\\[2pt]y\,'(0)=1\end{cases}}}$

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego^[21]

${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=1\\[2pt]y\,'(0)=0\end{cases}}}$

Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych

Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą iloczynów nieskończonych^[22]:

${\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\tfrac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),}$

${\displaystyle \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\tfrac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right).}$

Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych

Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych^[23][24][25]:

${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{(2\cdot 3-x^{2})+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{(4\cdot 5-x^{2})+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{(6\cdot 7-x^{2})+\dots }}}}}}}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\dots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\dots }}}}}}}},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} x={\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {x}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-{\cfrac {x^{2}}{9-\dots }}}}}}}}}$

Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji

Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego^[26].

Własności

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Przebieg zmienności funkcji

W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego liczbą rzeczywistą. Mają one wówczas następujące własności:

Dziedzina i asymptoty

• Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.
• Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.
• Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci ${\displaystyle k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.
• Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,}$ a cotangens i cosecans w punktach postaci ${\displaystyle x=k\pi .}$ Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.

Przeciwdziedzina

• Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału ${\displaystyle [-1,1].}$ Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru^[27] ${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty ).}$

Ekstrema

• Maksymalną wartość, dla obu funkcji ${\displaystyle 1,}$ sinus przyjmuje w punktach ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi ,}$ a cosinus w punktach ${\displaystyle x=2k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.
• Minimalną wartość, dla obu funkcji ${\displaystyle -1,}$ sinus przyjmuje w punktach ${\displaystyle x=-{\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi ,}$ a cosinus w punktach ${\displaystyle x=\pi +2k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.

Miejsca zerowe

• Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci ${\displaystyle x=k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.
• Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.

Parzystość i nieparzystość

• Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:

  ${\displaystyle {\begin{array}{l l}\sin(-x)=-\sin x&\cos(-x)=\cos x\\\operatorname {tg} (-x)=-\operatorname {tg} x&\operatorname {ctg} (-x)=-\operatorname {ctg} x\\\sec(-x)=\sec x&\operatorname {cosec} (-x)=-\operatorname {cosec} x\end{array}}}$

Okresowość

• Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba ${\displaystyle 2\pi ,}$ a tangensa i cotangensa ${\displaystyle \pi }$^[28][29]:

  ${\displaystyle {\begin{array}{l l}\sin x=\sin(x+2k\pi )&\cos x=\cos(x+2k\pi )\\\operatorname {tg} x=\operatorname {tg} (x+k\pi )&\operatorname {ctg} x=\operatorname {ctg} (x+k\pi )\\\sec x=\sec(x+2k\pi )&\operatorname {cosec} x=\operatorname {cosec} (x+2k\pi )\end{array}}}$

gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą.

Ciągłość i różniczkowalność

• Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).

Odwracalność

• Żadna z nich nie jest różnowartościową, a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. W pewnych przedziałach funkcje te są jednak różnowartościowe i można tam określić funkcje do nich odwrotne.

Własności algebraiczne

• Funkcje trygonometryczne zalicza się do funkcji elementarnych. Nie są one jednak funkcjami algebraicznymi.
• Liczby ${\displaystyle \sin x}$ oraz ${\displaystyle \cos x}$ są liczbami algebraicznymi dla dowolnych liczb postaci ${\displaystyle x=r\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle r}$ jest liczbą wymierną^[30].

Wykresy

Krzywe, będące wykresami funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą i cotangensoidą (kotangensoidą)^[29].

Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor ${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},0\right].}$ Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.

• 

  Sinusoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\sin x}$

• 

  Cosinusoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\cos x}$

• 

  Tangensoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\operatorname {tg} x}$

• 

  Cotangensoida: wykres funkcji ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} x}$

• 

  Wykres funkcji secans ${\displaystyle y=\sec x={\frac {1}{\cos x}}}$

• 

  Wykres funkcji cosecans ${\displaystyle y=\operatorname {cosec} x={\frac {1}{\sin x}}}$

Wartości dla typowych kątów

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°^[31]:

Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci ${\displaystyle {\tfrac {n\pi }{m}},n\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {N_{+}} }$ dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych działań arytmetycznych i pierwiastka kwadratowego wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$ liczba ${\displaystyle m}$ jest iloczynem potęgi dwójki i różnych liczb pierwszych Fermata (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3, 5, 17, 257, 65537)^[32][33]. W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1°, gdyż ${\displaystyle 1^{\circ }={\tfrac {\pi }{180}},}$ a ${\displaystyle 180=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}$ ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na ${\displaystyle m}$ jest identyczny jak warunek konstruowalności ${\displaystyle m}$-kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por. twierdzenie Gaussa-Wantzela).

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału ${\displaystyle [0,{\tfrac {\pi }{2}}),}$ czyli ${\displaystyle [0^{\circ },90^{\circ })}$^[34]:

Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją kofunkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać ${\displaystyle 90^{\circ }\pm \alpha }$ bądź ${\displaystyle 270^{\circ }\pm \alpha ,}$ w przypadkach ${\displaystyle 0^{\circ }\pm \alpha =360^{\circ }\pm \alpha }$ oraz ${\displaystyle 180^{\circ }\pm \alpha }$ funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce według tabeli^[27]:

Ćwiartki układu współrzędnych

Metodą mnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora:

W pierwszej ćwiartce są dodatnie,

w drugiej tylko sinus,

w trzeciej tangens i cotangens,

a w czwartej cosinus.

W innych wersjach pierwszy wers brzmi:

W pierwszej ćwiartce same plusy lub W pierwszej wszystkie są dodatnie.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

• jedynka trygonometryczna^[35]:

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$

• definicja tangensa i cotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i cotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa)^[35]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} \alpha &={\tfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\;\alpha \neq {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \\\operatorname {ctg} \alpha &={\tfrac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},\;\alpha \neq k\pi \end{aligned}},\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Geometryczny dowód wzoru ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta }$

• wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów^[35]:

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta }$

• wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów^[35]:

${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\tfrac {\alpha \pm \beta }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\alpha \mp \beta }{2}}}$

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\tfrac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \cos {\tfrac {\alpha -\beta }{2}}}$

${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\tfrac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \sin {\tfrac {\alpha -\beta }{2}}}$

• wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu^[36]:

${\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }$

${\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }$

• wzory na sinus i cosinus połowy argumentu^[37]:

${\displaystyle \left|\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \right|={\sqrt {\tfrac {1-cos\alpha }{2}}}}$

${\displaystyle \left|\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha \right|={\sqrt {\tfrac {1+cos\alpha }{2}}}}$

• iloczyn w postaci sumy^[37]:

${\displaystyle \cos \alpha \cdot \cos \beta ={\tfrac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$

${\displaystyle \sin \alpha \cdot \sin \beta ={\tfrac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$

${\displaystyle \sin \alpha \cdot \cos \beta ={\tfrac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}}$

• wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne^[35][38]:

${\displaystyle \sin \alpha =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$

${\displaystyle \cos \alpha =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\tfrac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\operatorname {ctg} \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)={\tfrac {1}{\operatorname {ctg} \alpha }}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\tfrac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\operatorname {tg} \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)={\tfrac {1}{\operatorname {tg} \alpha }}}$

${\displaystyle \sec \alpha ={\tfrac {1}{\cos \alpha }}=\operatorname {cosec} \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$

${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\tfrac {1}{\sin \alpha }}=\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha \right)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\color {red}{\sin ^{2}\alpha }=&1-\cos ^{2}\alpha =&{\tfrac {\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {1}{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\\1-\sin ^{2}\alpha =&\color {red}{\cos ^{2}\alpha }=&{\tfrac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\\{\tfrac {\sin ^{2}\alpha }{1-\sin ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {1-\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}=&\color {red}{\operatorname {tg} ^{2}\alpha }=&{\tfrac {1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\\{\tfrac {1-\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {\cos ^{2}\alpha }{1-\cos ^{2}\alpha }}=&{\tfrac {1}{\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=&\color {red}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }\end{matrix}}}$

(Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie występują zera)

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Zachodzą równości^[39]:

${\displaystyle \sin 'x=\cos x=\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}+x\right)}$

${\displaystyle \cos 'x=-\sin x=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}+x\right)}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 'x={\tfrac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x=1+\operatorname {tg} ^{2}x{\mbox{ dla }}x\neq {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {ctg} 'x=-{\tfrac {1}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {cosec} ^{2}x=-(1+\operatorname {ctg} ^{2}x){\mbox{ dla }}x\neq k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sec 'x={\tfrac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\operatorname {tg} x\sec x{\mbox{ dla }}x\neq {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {cosec} 'x=-{\tfrac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {ctg} x\operatorname {cosec} x{\mbox{ dla }}x\neq k\pi ,k\in \mathbb {Z} }$

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:

${\displaystyle \sin ^{(n)}x=\sin \left({\tfrac {n\pi }{2}}+x\right)={\begin{cases}\sin x&n=4k\\[2pt]\cos x&n=4k+1\\[2pt]-\sin x&n=4k+2\\[2pt]-\cos x&n=4k+3\end{cases}}{\mbox{ dla }}k\in \{0,1,2,\dots \},}$

${\displaystyle \cos ^{(n)}x=\cos \left({\tfrac {n\pi }{2}}+x\right)={\begin{cases}\cos x&n=4k\\[2pt]-\sin x&n=4k+1\\[2pt]-\cos x&n=4k+2\\[2pt]\sin x&n=4k+3\end{cases}}{\mbox{ dla }}k\in \{0,1,2,\dots \}.}$

Wzory na ${\displaystyle n}$-te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych również istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane^{[40][41][42][43]}.

Całki funkcji trygonometrycznych

Podstawowe całki to^[44]:

${\displaystyle \int \sin x\mathrm {d} x=-\cos x+C,}$

${\displaystyle \int \cos x\mathrm {d} x=\sin x+C,}$

${\displaystyle \int \operatorname {tg} x\mathrm {d} x=-\ln |\cos x|+C,}$

${\displaystyle \int \operatorname {ctg} x\mathrm {d} x=\ln |\sin x|+C,}$

${\displaystyle \int \sec x\mathrm {d} x=\ln |\sec x+\operatorname {tg} x|+C,}$

${\displaystyle \int \operatorname {cosec} x\mathrm {d} x=-\ln |\operatorname {cosec} x+\operatorname {ctg} x|+C,}$

gdzie ${\displaystyle C\in \mathbb {R} .}$

Każda całka funkcji wymiernej postaci ${\displaystyle R(\sin x,\cos x)}$ jest elementarna, można ją obliczyć przez podstawienie^[45]:

${\displaystyle t=\operatorname {tg} {\tfrac {x}{2}},}$

wówczas:

${\displaystyle \operatorname {d} x={\tfrac {2\operatorname {d} t}{1+t^{2}}},}$

${\displaystyle \sin x={\tfrac {2t}{1+t^{2}}},}$

${\displaystyle \cos x={\tfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} x={\tfrac {2t}{1-t^{2}}},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} x={\tfrac {1-t^{2}}{2t}},}$

${\displaystyle \sec x={\tfrac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},}$

${\displaystyle \operatorname {cosec} x={\tfrac {1+t^{2}}{2t}}.}$

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej

Używając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej

Uogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują większość własności zmiennej rzeczywistej:

• okresowość (w tym okres podstawowy),
• tożsamości trygonometryczne,
• miejsca zerowe,
• punkty nieokreśloności:
  • sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,
  • tangens jest określony w zbiorze liczb zespolonych, których usunięto liczby postaci ${\displaystyle {\tfrac {(2k-1)\pi }{2}},}$ a cotangens – punktów postaci ${\displaystyle k\pi ,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest całkowita.

Zasadniczą różnicą jest brak ograniczoności funkcji sinus i cosinus. Przykładowo cosinus niezerowego argumentu urojonego jest zawsze liczbą rzeczywistą większą od ${\displaystyle 1,}$ w szczególności:

${\displaystyle \cos i={\tfrac {1}{2}}(e^{-1}+e)\approx 1{,}543;\qquad \sin i={\tfrac {1}{2i}}(e^{-1}-e)\approx 1{,}175i}$

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) wielokrotne na całej płaszczyźnie zespolonej.

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty

Funkcja	Część rzeczywista	Część urojona	Moduł
${\displaystyle \sin(x\pm iy)}$	${\displaystyle \sin x\cosh y}$	${\displaystyle \pm \cos x\sinh y}$	${\displaystyle {\sqrt {\sin ^{2}x+\sinh ^{2}y}}}$
${\displaystyle \cos(x\pm iy)}$	${\displaystyle \cos x\cosh y}$	${\displaystyle \mp \sin x\sinh y}$	${\displaystyle {\sqrt {\cos ^{2}x+\sinh ^{2}y}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} (x\pm iy)}$	${\displaystyle {\frac {\sin 2x}{\cos 2x+\cosh 2y}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sinh 2y}{\cos 2x+\cosh 2y}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\sin ^{2}2x+\sinh ^{2}2y}{(\cos 2x+\cosh 2y)^{2}}}}}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} (x\pm iy)}$	${\displaystyle -{\frac {\sin 2x}{\cos 2x-\cosh 2y}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sinh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}}$	${\displaystyle {\sqrt {-{\frac {\cos 2x+\cosh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}}}}$

Argument ${\displaystyle \varphi }$ oblicza się według wzorów:

${\displaystyle \sin \varphi ={\tfrac {\operatorname {Im} \omega }{|\omega |}},}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\tfrac {\operatorname {Re} \omega }{|\omega |}},}$

gdzie ${\displaystyle \omega }$ to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

Wzór Eulera

W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:

${\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z.}$

Wynika z niego, iż:

${\displaystyle \sin z={\tfrac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}},}$

${\displaystyle \cos z={\tfrac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} z={\tfrac {e^{iz}-e^{-iz}}{(e^{iz}+e^{-iz})i}},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} z={\tfrac {e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}i,}$

${\displaystyle \sec z={\tfrac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}},}$

${\displaystyle \operatorname {cosec} z={\tfrac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},}$