Grupa symetrii

Grupa symetrii (figury geometrycznej ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ w przestrzeni euklidesowej) – grupa wszystkich izometrii przekształcających daną figurę na samą siebie z działaniem składania przekształceń^[1]. Mimo że elementy tej grupy nie muszą być symetriami (dla figur ograniczonych może to być obrót), a dla figur nieograniczonych – przesunięcie równoległe lub symetria z poślizgiem, nazywane są one mimo to symetriami figury ${\displaystyle {\mathfrak {F}}.}$ Sens tej nazwy można wyjaśnić następująco: im więcej jest symetrii figury, tym bardziej jest ona symetryczna (inaczej regularna) w naiwnym sensie tego słowa.

Figury na płaszczyźnie (lub w przestrzeni większego wymiaru) mogą wyznaczać grupy symetrii będące różnymi grupami izometrii całej płaszczyzny (lub przestrzeni większego wymiaru).

Grupy symetrii odgrywają dużą rolę w krystalografii.

Przykłady

Trójkąt równoboczny z zaznaczonymi osiami symetrii i środkiem

• Grupa symetrii trójkąta równobocznego składa się z sześciu przekształceń ${\displaystyle \{{\text{Id}},R_{O}^{120^{\circ }},R_{O}^{240^{\circ }},S_{l_{1}},S_{l_{2}},S_{l_{3}}\}}$: przekształcenia identycznościowego ${\displaystyle {\text{Id}},}$ dwóch obrotów ${\displaystyle R_{O}^{120^{\circ }},R_{O}^{240^{\circ }}}$ dokoła środka ${\displaystyle O}$ trójkąta o kąty 120° i 240° oraz trzech symetrii ${\displaystyle S_{l_{1}},S_{l_{2}},S_{l_{3}}}$ względem prostych ${\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3}}$ zawierających wysokości trójkąta.

Przypisy

Bibliografia

• Никулин В.В., Шафаревич И.Р.: Геометрии и группы. Москва: Наука, 1983.
• Hermann Weyl: Symetria. Warszawa: Prószyński i S-ka, 1997. ISBN 83-7180-139-4.