H-nieskończoność

H-nieskończoność, H_∞, sterowanie H_∞ – w teorii sterowania, termin odnoszący się do metod syntezy regulatorów, które pozwalają na uzyskanie krzepkości sterowania lub krzepkości stabilności w układach regulacji. W metodach tych problem sterowania definiuje się jako zadanie sterowania optymalnego, a następnie projektuje regulator, który może takie zadanie wykonać.

Wstęp

Termin H-nieskończoność pochodzi od nazwy przestrzeni matematycznej, w której zachodzi optymalizacja. H_∞ jest przestrzenią funkcji, o wartościach będących macierzami, które są analityczne i ograniczone w otwartej prawej stronie płaszczyzny zespolonej, zdefiniowanej nierównością ${\displaystyle Re(s)>0;}$ norma H_∞ stanowi maksymalną wartość osobliwą tej funkcji w tej przestrzeni (można to zinterpretować jako maksymalne wzmocnienie w dowolnym kierunku i dla dowolnej częstotliwości; dla systemów jednowymiarowych, jest to maksymalna amplituda charakterystyki częstotliwościowej). Metody H-nieskończoność można wykorzystać do minimalizacji wpływu zaburzeń w układach zamkniętych (w układach regulacji z zamkniętą pętlą sprzężenia zwrotnego) – w zależności od sposobu sformułowania problemu, miara tego wpływu odnosi się do stabilności albo do sterowania.

Jednoczesna optymalizacja krzepkiego sterowania i krzepkiej stabilności jest trudna do uzyskania. Jedną z metod, która bliska jest uzyskania tego, jest metoda H-nieskończoność kształtująca pętlę (sprzężenia zwrotnego) układu. W metodzie tej stosuje się koncepcje klasycznej teorii sterowania w odniesieniu do wielowymiarowych charakterystyk częstotliwościowych, tak by uzyskać odpowiednio krzepkie sterowanie, a następnie optymalizuje się charakterystykę w pobliżu pasma przenoszenia układu, tak by osiągnąć odpowiednio krzepką stabilność. Syntezę regulatora H-nieskończoność można przeprowadzić za pomocą dostępnego na rynku odpowiedniego oprogramowania komercyjnego.

Zalety i wady

Metody H-nieskończoność mają tę przewagę nad metodami klasycznej teorii sterowania, że można je z łatwością zastosować do systemów wielowymiarowych ze sprzężeniami skrośnymi. Z drugiej jednak strony korzystanie z tych metod wymaga znajomości właściwych zagadnień matematyki, potrzebny jest też dobry model sterowanego układu. Duże znaczenie ma odpowiednie sformułowanie problemu, gdyż każdy regulator jaki powstanie w wyniku syntezy będzie optymalny tylko w sformułowanym sensie – niewłaściwa optymalizacja często zamiast polepszać jedynie pogarsza sterowanie. Ponadto ograniczenia nieliniowe, takie jak nasycenie, ogólnie rzecz biorąc, nie są odpowiednio traktowane.

Sformułowanie problemu

Po pierwsze proces musi zostać przedstawiony zgodnie ze standardową konfiguracją:

Obiekt ${\displaystyle P}$ ma dwa wejścia, egzogeniczne wejście ${\displaystyle w,}$ które obejmuje sygnał wartości zadanej i zakłócenia, oraz sterowaną zmienną wyjściową ${\displaystyle u.}$ Są też dwa wyjścia, sygnały uchybu ${\displaystyle z,}$ które mają być zminimalizowane, i mierzona zmienna ${\displaystyle v,}$ która ma być wykorzystana do sterowania systemem. Zmienna ${\displaystyle v}$ używana jest w ${\displaystyle K}$ do wyliczenia zmiennej sterowanej ${\displaystyle u.}$ Wszystkie wymienione zmienne są wektorami, a ${\displaystyle \mathbf {P} }$ i ${\displaystyle \mathbf {K} }$ są macierzami.

Można to wyrazić wzorami:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=\mathbf {K} (s)\,v.}$

Można zatem zapisać zależność ${\displaystyle z}$ od ${\displaystyle w}$ jako:

${\displaystyle z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w.}$

${\displaystyle F_{\ell }}$ zwaną dolną liniową transformacją ułamkową (gdzie indeks ${\displaystyle \ell }$ to skrót od ang. lower, czyli dolny) można wyrazić wzorem:

${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}}$

Celem projektu sterowania H_∞ jest odnalezienie regulatora ${\displaystyle \mathbf {K} ,}$ takiego że ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$ będzie minimalizowane zgodnie z normą H_∞. Taka sama definicja ma zastosowanie do projektu sterowania H₂. Normę z nieskończonością dla macierzy transmitancji ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$ definiuje się następująco:

${\displaystyle ||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\overline {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )),}$

gdzie ${\displaystyle {\overline {\sigma }}}$ to maksimum wartości osobliwej macierzy ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ).}$

Osiągalna norma H-nieskończoność dla układu z zamkniętą pętlą (sprzężenia zwrotnego) dana jest macierzą ${\displaystyle D_{11}}$ gdzie układ ${\displaystyle P}$ jest dany w postaci ${\displaystyle (A,B_{1},B_{2},C_{1},C_{2},D_{11},D_{12},D_{22},D_{21}).}$ Istnieje kilka dróg dojścia do sformułowania regulatora H_∞:

• parametryzacja Youla zamkniętej pętli (sprzężenia zwrotnego) często prowadzi do regulatora bardzo wysokiego rzędu;
• podejścia oparte na równaniu Riccatiego rozwiązują 2 równania Riccatiego, co pozwala na znalezienie regulatora, ale wymaga kilku uproszczających założeń,
• przeformułowanie równania Riccatiego, związane z optymalizacją, wykorzystuje liniową nierówność macierzową i wymaga mniej założeń.

Kształtowanie pętli H-nieskończoność

Kształtowanie pętli H-nieskończoność to metoda projektowania współczesnej teorii sterowania, która łączy tradycyjne, intuicyjne metody klasycznej teorii sterowania (takie jak całka wrażliwości Bode’go) z metodami optymalizującymi H-nieskończoność. Istota metody polega na tym, że najpierw opisuje się oczekiwane przebiegi charakterystyk i własności redukcji szumu poprzez rozważenie transmitancji w dziedzinie częstotliwości; tak „ukształtowaną” pętlę (sprzężenia zwrotnego) poddaje się następnie operacjom optymalizującym mającym na celu nadanie jej cech krzepkości. Nadawanie tych cech zwykle ma mały wpływ na niskie i wysokie częstotliwości, ale charakterystyka wokół przecięcia wzmocnienia jednostkowego (częstotliwość, przy której amplituda wzmocnienia wynosi 1 nazywa się częstotliwością wzmocnienia jednostkowego lub częstotliwością przecięcia – zob. też charakterystyka częstotliwościowa) jest tak dostosowywana, by zmaksymalizować zapas stabilności układu. Metoda ta została z powodzeniem zaimplementowana w rozwiązaniach przemysłowych^[1][2].

Zobacz też

• H-kwadrat
• normy
• przestrzeń unormowana
• twierdzenie o małym wzmocnieniu

Przypisy