Hipersfera

Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym

Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej

Hipersfera – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.

Definicja formalna

Dla dowolnej liczby naturalnej ${\displaystyle n,}$ hipersfera o promieniu ${\displaystyle r}$ jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle (n+1)}$-wymiarowej, które znajdują się w odległości ${\displaystyle r}$ od wybranego punktu środkowego ${\displaystyle c,}$ gdzie ${\displaystyle r}$ jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a ${\displaystyle c}$ to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni ${\displaystyle (n+1)}$-wymiarowej^[1].

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x-c\|=r\right\}.}$

Jest to n-wymiarowa rozmaitość w ${\displaystyle (n+1)}$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej^[1]. W szczególności:

• hipersfera 0-wymiarowa ${\displaystyle S^{0}}$ to para punktów na końcach odcinka^[2],
• hipersfera 1-wymiarowa ${\displaystyle S^{1}}$ to okrąg na płaszczyźnie^[3],
• hipersfera 2-wymiarowa ${\displaystyle S^{2}}$ to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej, powierzchnia klasycznej kuli^[4],
• hipersfera 3-wymiarowa ${\displaystyle S^{3}}$ to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy sferą jednostkową, oznaczaną ${\displaystyle S^{n}}$^[5]. Sfera n-wymiarowa stanowi brzeg kuli ${\displaystyle (n+1)}$-wymiarowej. Dla ${\displaystyle n\geq 2,}$ hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.

Współrzędne

Zbiór punktów w przestrzeni ${\displaystyle (n+1)}$-wymiarowej ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n+1}),}$ który tworzy hipersferę opisuje równanie

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

gdzie:

${\displaystyle c}$ – punkt środkowy,

${\displaystyle r}$ – promień.

Hiperkula

Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy ${\displaystyle (n+1)}$-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta, jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta, jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

• hiperkula 1-wymiarowa to odcinek,
• hiperkula 2-wymiarowa to koło,
• hiperkula 3-wymiarowa to kula.

Rozmiar

Objętość wnętrza

Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarową o promieniu ${\displaystyle R,}$ który jest hiperkulą ${\displaystyle n}$-wymiarową, ma postać:

${\displaystyle V_{n}(R)=C_{n}R^{n},}$

gdzie ${\displaystyle C_{n}}$ jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

${\displaystyle C_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}},}$

w którym ${\displaystyle \Gamma }$ to funkcja Γ.

Wzór na współczynnik ${\displaystyle C_{n}}$ upraszcza się gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych

${\displaystyle C_{2k}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}}$^[6]

i nieparzystych

${\displaystyle C_{2k+1}={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2k+1)}}={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}.}$^[6]

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów ${\displaystyle n>5,}$ rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }V_{n}=0.}$

Powierzchnia

Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery ${\displaystyle (n-1)}$-wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli ${\displaystyle n}$-wymiarowej względem promienia^[7]

${\displaystyle S_{n-1}(R)={\frac {d}{dR}}V_{n}(R)={\frac {d}{dR}}C_{n}R^{n}=nC_{n}R^{n-1}=C_{n-1}^{*}R^{n-1},}$

gdzie ${\displaystyle C_{n-1}^{*},}$ podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

${\displaystyle C_{n-1}^{*}=nC_{n}={\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}={\begin{cases}\displaystyle 0&{\text{dla }}n=0,\\[2ex]\displaystyle {\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}&{\text{dla }}n>0\end{cases}}}$

Wśród hipersfer jednostkowych, największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach ${\displaystyle n>6}$ ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=0.}$

Wymiary ułamkowe

Wzory na ${\displaystyle S_{n}}$ i ${\displaystyle V_{n}}$ można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych ${\displaystyle n\geq 0,}$ w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli gdy ${\displaystyle n}$ nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Obszar w przestrzeni ${\displaystyle x}$-wymiarowej jako funkcja ciągła ${\displaystyle x}$

Powierzchnia jednostkowej sfery ${\displaystyle (x-1)}$-wymiarowej

Objętość jednostkowej kuli ${\displaystyle x}$-wymiarowej

Współrzędne hipersferyczne

Analogicznie do współrzędnych sferycznych w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni ${\displaystyle n}$-wymiarowej, w których składowymi są promień ${\displaystyle r}$ i ${\displaystyle (n-1)}$ współrzędnych kątowych ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\dots ,\phi _{n-1},}$ gdzie ${\displaystyle \phi _{n-1}}$ zawiera się w przedziale ${\displaystyle [0,2\pi ),}$ a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale ${\displaystyle [0,\pi ].}$

Jeśli przez ${\displaystyle x_{i}}$ oznaczymy współrzędne kartezjańskie to ich wartości można wyznaczyć jako:

${\displaystyle x_{1}=r\cos(\phi _{1}),}$

${\displaystyle x_{2}=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2}),}$

${\displaystyle x_{3}=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3}),}$

${\displaystyle {}\,\,\,\vdots }$

${\displaystyle x_{n-1}=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1}),}$

${\displaystyle x_{n}=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1}).}$

Zobacz też

• hipersześcian
• rozmaitość

Przypisy

Bibliografia

• KarolK. Gryszka KarolK., Anomalie kul i kostek, „Delta”, październik 2018 [dostęp 2018-11-25] .
• ZacharyZ. Treisman ZacharyZ., A young person's guide to the Hopf fibration, „arXiv”, 9 sierpnia 2009, arXiv:0908.1205 .

Linki zewnętrzne

• Exploring Hyperspace with the Geometric Product (ang.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypersphere, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.).