Hipoteza Riemanna

Wykres funkcji dzeta Riemanna dla x > 1

Wykres części rzeczywistej i urojonej funkcji dzeta Riemanna dla s = 0,5 + i * t

Hipoteza Riemanna – sformułowana w 1859 roku hipoteza^[1], dotycząca badanej przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna funkcji dzeta. Jest jednym z największych nierozwiązanych problemów w matematyce obok hipotezy Goldbacha. Mówi ona, że wszystkie tzw. nietrywialne zera (nierzeczywiste) tej funkcji mają część rzeczywistą równą ½^[2]. Problem ten ma duże znaczenie dla całej matematyki – w szczególności dla teorii liczb, ale również dla statystyki oraz fizyki. Jest jednym z problemów milenijnych, ogłoszonych przez Instytut Matematyczny Claya w roku 2000^[3]. Clay Mathematics Institute (CMI) ufundował nagrodę w wysokości miliona dolarów za dowód lub obalenie tej hipotezy. Hipoteza Riemanna jest ósmym problemem z listy problemów Hilberta.

Sformułowanie hipotezy

Dla liczb zespolonych s spełniających warunek Re s > 1 funkcja dzeta określona jest wzorem:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną, nie licząc punktu s = 1, gdzie funkcja przechodzi w rozbieżny szereg harmoniczny. Wtedy funkcja Dzeta Riemanna spełnia równanie funkcyjne:

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s),}$

gdzie ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } (s)}$ reprezentuje funkcję gamma. Dzięki temu rozszerzeniu funkcja Dzeta ma tzw. trywialne miejsca zerowe dla s = -2, -4, -6, ..., wynikające z zerowania się funkcji sinus. Uwaga: dla s = 2, 4,... stosuje się pierwotną postać szeregu zbieżnego w tym przypadku do od lat znanych wartości (różnych od zera) pokazanych choćby przez Eulera. Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe miejsca zerowe znajdują się na prostej Re s = ½, zwanej prostą krytyczną. G.H. Hardy oraz J.E. Littlewood udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele miejsc zerowych funkcji dzeta na prostej krytycznej. Zostało również udowodnione, że przynajmniej 40% miejsc zerowych leży na prostej krytycznej (Conrey, 1989).

Hipoteza Riemanna a teoria liczb

Prawdziwość hipotezy Riemanna pozwalałaby na wzmocnienie pewnych nierówności dotyczących liczb pierwszych oraz równości asymptotycznych. Okazuje się na przykład, że hipoteza Riemanna jest równoważna poniższej równości (π(n) to liczba liczb pierwszych w przedziale od 1 do n), będącej wzmocnieniem twierdzenia o liczbach pierwszych:

${\displaystyle \pi (n)=\mathrm {Li} (n)+O\left({\sqrt {n}}\ln n\right)}$

gdzie ${\displaystyle \mathrm {Li} (n)}$ oznacza tzw. resztę z logarytmu całkowego, a do zapisu użyto tzw. dużego O.

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Riemann Zeta Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Tomasz Miller, Czego uczy nas hipoteza Riemanna?, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 15 listopada 2018 [dostęp 2021-09-15].