Koprodukt

Koprodukt – pojęcie w teorii kategorii będące uogólnieniem sumy rozłącznej zbiorów i zewnętrznej sumy prostej przestrzeni liniowych. Koprodukt jest konstrukcją dualną do produktu.

Definicja

Koproduktem obiektów ${\displaystyle A,B\in C}$ nazywamy obiekt oznaczany ${\displaystyle A+B}$ (niekiedy też ${\displaystyle A\sqcup B}$) wraz z morfizmami ${\displaystyle w_{A}\colon A\to A+B}$ i ${\displaystyle w_{B}\colon B\to A+B}$ taki, że dla każdego obiektu ${\displaystyle P\in C}$ i morfizmów ${\displaystyle f\colon A\to P}$ i ${\displaystyle g\colon B\to P}$ istnieje dokładnie jeden morfizm ${\displaystyle h\colon A+B\to P}$ taki, że ${\displaystyle f=h\circ w_{A}}$ i ${\displaystyle g=h\circ w_{B}.}$

Przykłady

• W kategorii Set koproduktem zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ jest suma rozłączna zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ wraz z włożeniami ${\displaystyle w_{A}(x)=(x,0)}$ i ${\displaystyle w_{B}(x)=(x,1)}$
• W kategorii Top${\displaystyle _{\diamond }}$ przestrzeni topologicznych ${\displaystyle X}$ z wyróżnionymi punktami bazowymi ${\displaystyle x^{\diamond }\!\in \!X}$ i przekształceń ciągłych zachowujących punkty bazowe, dla dowolnych obiektów ${\displaystyle (A,a^{\diamond })}$ i ${\displaystyle (B,b^{\diamond })}$ przestrzeń ${\displaystyle A\vee B}$ złożona z wszystkich par ${\displaystyle (a,b)}$ takich, że ${\displaystyle a=a^{\diamond }}$ lub ${\displaystyle b=b^{\diamond },}$ jest ich koproduktem.
• W posecie ${\displaystyle (P,\leqslant )}$ traktowanym jako kategoria koproduktem elementów ${\displaystyle a,b}$ jest ${\displaystyle \sup\{a,b\}.}$

Zobacz też

• funktory sprzężone
• produkt
• zagadnienia jednoznacznej faktoryzacji