Kopuła (matematyka)

Kopula to dystrybuanta wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa na kwadracie jednostkowym (dla trzech wymiarów sześcianie jednostkowym itd.) o jednostajnych rozkładach brzegowych.

Kopuła dwuwymiarowa

W szczególności dwuwymiarową kopulą ${\displaystyle C\colon I^{2}\longrightarrow I}$ nazywamy funkcję spełniającą następujące warunki:

1. ${\displaystyle C\left(0,t\right)=C\left(t,0\right)=0,}$
2. ${\displaystyle C\left(1,t\right)=C\left(t,1\right)=t}$ dla wszystkich ${\displaystyle t\in I,}$
3. ${\displaystyle C(u_{2},v_{2})-C(u_{1},v_{2})-C(u_{2},v_{1})+C(u_{1},v_{1})\geqslant 0}$

dla wszystkich ${\displaystyle u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in I,}$ takich że ${\displaystyle u_{2}\geqslant u_{1}}$ i ${\displaystyle v_{2}\geqslant v_{1}.}$

Twierdzenie Sklara

Niech ${\displaystyle H\left(x,y\right)}$ będzie dwuwymiarową funkcją dystrybuanty z dystrybuantami brzegowymi ${\displaystyle F(x)}$ i ${\displaystyle G(y).}$ Wtedy istnieje kopula C spełniająca warunek:

${\displaystyle H(x,y)=C\left(F(x),G(y)\right).}$

Ponadto jeżeli F i G są ciągłe, wówczas C jest jednoznaczna.

Linki zewnętrzne

• Copula Wiki (ang.)