Lematy Borela-Cantellego

Lematy Borela-Cantellego[1]lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych, wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb.

Niech będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej

Pierwszy lemat Borela-Cantellego

Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń jest zbieżny, tj.

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń wynosi 0, tj.

Dowód

  • Niech
  • Korzystając z własności miary:
  • Również z własności miary otrzymujemy nierówność:
  • Niech Z założenia więc szereg jest zbieżny.
  • Zauważmy, że:
  • Korzystając z oraz twierdzenia o trzech ciągach:
  • Kończy to dowód, bo:

Drugi lemat Borela-Cantellego

Jeśli zdarzenia niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń wynosi 1, tj.

Dowód

  • Niech
  • Korzystając z własności miary:
  • Zapiszmy w postaci:
  • Niech
  • Korzystając ponownie z własności miary:
  • Zauważmy, że gdzie
Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że
  • Zauważmy:
  • Więc z twierdzenia o trzech ciągach:
  • I ostatecznie

Wniosek

  • Jeżeli zdarzenia niezależne to dla zdarzenia zachodzi warunek:

Przykład

Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że -ty, i rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia nie są niezależne, ale zdarzenia są.

Każde zdarzenie ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.

Zobacz też

Przypisy

  1. Nie Cantelliego, lecz Cantellego, zobacz poradnia językowa PWN – nie ma tego hasła w poradni, ale jest: Bernoulliego, a nie Bernoullego [1].

Bibliografia

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.