Liczba plastikowa

Liczba plastikowa – liczba niewymierna będąca jedynym rzeczywistym rozwiązaniem równania ${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$^[1][2][3]. Jej własności badali na początku XX w. francuz Gérard Cordonnier oraz holenderski architekt i mnich Hans van der Laan^[2][4][5].

Własności

Długości boków trójkątów równobocznych równe są kolejnym wyrazom ciągu Padovana

Jest równa^[3]:

${\displaystyle P={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}=1{,}3247\dots ,}$

co odpowiada ułamkowi łańcuchowemu^[1]:

${\displaystyle P=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}$

oraz zagnieżdżonemu pierwiastkowi^[2]:

${\displaystyle P={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\dots }}}}}}.}$

Liczba plastikowa jest granicą ciągu ilorazów kolejnych wyrazów ciągu Padovana^[1], definiowanego następująco:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}P_{0}=P_{1}=P_{2}=1\\P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}\end{array}}\right.,}$

mianowicie

${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}=1{,}3247\dots ,}$

natomiast początkowe wyrazy ciągu Padovana to: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12...^[6].

Przypisy