Liczby Sierpińskiego

Liczby Sierpińskiego – nieparzyste liczby naturalne k takie, że k2n + 1 jest liczbą złożoną dla dowolnego naturalnego n[1].

Zatem, jeśli k jest liczbą Sierpińskiego, to wszystkie liczby w poniższym zbiorze są złożone:

.

W roku 1960 Wacław Sierpiński wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych k spełniających powyższy warunek[1].

Problem Sierpińskiego

Problem Sierpińskiego to zagadnienie znalezienia najmniejszej liczby Sierpińskiego.

W 1962 r., John Selfridge wykazał że 78 557 jest liczbą Sierpińskiego. Ponadto wykazał on że jeśli k=78 557, to wszystkie liczby postaci k2n+1 posiadają rozkład na czynniki pierwsze zawarte w zbiorze {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. Ponadto w 1967 r. Sierpiński i Selfridge postulowali (lecz nie potrafili wykazać) iż 78 557 jest najmniejszą liczbą Sierpińskiego, a więc jest rozwiązaniem problemu Sierpińskiego. Aby to udowodnić, trzeba wykazać, że wszystkie nieparzyste liczby mniejsze od 78 557 nie są liczbami Sierpińskiego. To znaczy, że istnieje takie n że k2n+1 jest liczbą pierwszą[2].

W listopadzie 2007 r. istniało tylko sześć liczb, które nie zostały wykluczone jako możliwe liczby Sierpińskiego i mogą stanowić rozwiązanie problemu[3]. Seventeen or Bust, jest rozproszonym projektem obliczeniowym sprawdzającym te liczby. Jeśli projekt ten odnajdzie liczbę pierwszą właściwej postaci dla każdego z pozostałych k, to problem Sierpińskiego zostanie ostatecznie rozwiązany.

Znane wyniki

Następujące k zostały wykluczone przez projekt Seventeen or Bust.

#knCyfry dla k·2n+1Data odkryciaZnalezione przez
14 8473 321 063999 74415 października 2005Richard Hassler
25 3595 054 5021 521 5616 grudnia 2003Randy Sundquist
310 22331 172 1659 383 76131 października 2016Péter Szabolcs
419 24913 018 5863 918 99026 marca 2007Konstantin Agafonow
521 181
622 699
724 737
827 6539 167 4332 759 6778 czerwca 2005Derek Gordon
928 4337 830 4572 357 20730 grudnia 2004Anonymous
1033 6617 031 2322 116 61713 października 2007Sturle Sunde
1144 131995 972299 8236 grudnia 2002deviced (pseudonim)
1246 157698 207210 18626 listopada 2002Stephen Gibson
1354 7671 337 287402 56922 grudnia 2002Peter Coels
1455 459
1565 5671 013 803305 1903 grudnia 2002James Burt
1667 607
1769 1091 157 446348 4317 grudnia 2002Sean DiMichele

Przypisy

  1. ↑ a b Wojciech Guzicki, O liczbach Sierpińskiego, [w:] pismo „Delta” [online], deltami.edu.pl, marzec 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-03-15] (pol.).
  2. ↑ The Prime Page's Links++: theory/special_forms/Sierpinski. [dostęp 2009-05-30]. [zarchiwizowane z tego adresu (2009-04-03)].
  3. ↑ Seventeen or Bust: Project Stats. [dostęp 2009-05-30]. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-24)].

Bibliografia

  • (ang.) Louis Helm, Phil Moore, Payam Samidoost, George Goldman. Resolution of the Mixed Sierpiński Problem. „Integers: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory”. 8 (2008), #A61 (ang.). [dostęp 2009-02-10]. 

Linki zewnętrzne