Macierz idempotentna

Macierz idempotentna – macierz kwadratowa ${\displaystyle A\in M_{n}(\mathbb {K} )}$ spełniająca równość: ${\displaystyle A^{2}=A.}$

Przykłady

• ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1\end{matrix}}\right]}$

• ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1\\2&-1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}}\right]}$

• ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}-1&-2&4\\-1&-2&4\\-1&-2&4\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]}$

Własności

• Każda macierz jednostkowa jest idempotentna. Jeśli macierz idempotentna nie jest jednostkowa, to jest osobliwa.
• Wartości własne macierzy idempotentnej są równe zeru lub jedności. Wielomian charakterystyczny macierzy idempotentnej ${\displaystyle A}$ jest postaci ${\displaystyle F_{A}(\lambda )=(1-\lambda )^{i}\cdot \lambda ^{j}.}$
• Każdą macierz idempotentną można zdiagonalizować do postaci

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}I_{i\times i}&\Theta _{i\times j}\\\Theta _{j\times i}&\Theta _{j\times j}\end{matrix}}\right].}$

W powyższej postaci klatkowej macierz ${\displaystyle I}$ jest (kwadratową) macierzą jednostkową, macierze ${\displaystyle \Theta }$ są macierzami zerowymi odpowiednich wymiarów.
Oczywiście każda macierz powyższej postaci jest macierzą idempotentną.

• Jeśli ${\displaystyle A}$ jest macierzą idempotentną, to dla dowolnej macierzy nieosobliwej ${\displaystyle C}$ macierz ${\displaystyle CAC^{-1}}$ też jest macierzą idempotentną.

Ponadto

Każda macierz idempotentna jest macierzą pewnego rzutu w przestrzeni liniowej.

Zobacz też

• idempotentność
• mnożenie macierzy