Metoda Schulzego

Metoda Schulzego obrazowo: 1. Pierwsze opuszczenie (strategia heurystyczna ustala zbiór Schwartza, po czym kolejno opuszcza najsłabszą przegraną, aż do skutku)

2. Kolejne opuszczenie

3. E wygrywa, ponieważ wygrało wszystkie zestawienia parami

Metoda Schulzego (ang.: Schulze method, Schwartz Sequential Dropping (SSD), Cloneproof Schwartz Sequential Dropping (CSSD), Beatpath Method, Beatpath Winner, Path Voting, Path Winner) – metoda wyborcza, czyli oddawania i liczenia głosów, stworzona w 1997 przez Markusa Schulzego w celu wybierania jednego zwycięzcy w głosowaniu preferencyjnym.

Głosowanie odbywa się przez wpisanie liczby przy każdym kandydacie. Wyborca oddaje głos, oznaczając wybranych kandydatów numerami: zaznaczając '1' obok najbardziej preferowanego kandydata, '2' obok następnego w kolejności preferencji itd.

Metoda ta może zostać użyta także w celu wyłonienia listy zwycięzców.

Jeżeli w zestawieniach kandydatów parami, w wyniku tych zestawień jeden z nich jest preferowany, metoda Schulzego gwarantuje, że ten kandydat wygra wybory. Dzięki tej właściwości metoda Schulzego z racji definicji jest metodą Condorceta^[1].

Jako pierwszy metody wyłaniania zwycięzcy wyborczego na zasadzie oddawania głosu jako uszeregowanych preferencji opracował już w XVIII wieku francuski matematyk Jean Condorcet. Rajmund Lullus, średniowieczny filozof z Majorki, zaproponował podobne metody^[2] już w XIII wieku, przy czym swoje obliczenia wykonywał iteratywnie (parami, po kolei), budując przy tym maszyny logiczne. Z kolei ok. r. 1670 niemiecki matematyk Gottfried Leibniz zastosował metody Lullusa do liczenia, nadając im nazwę ars combinatorica, tworząc przy okazji rodzaj kodu binarnego. Z tego powodu Lull jest dziś uważany za ojca informatyki, a w jego metodach ustalono zapożyczenia z matematyki afrykańskiej^[3][4].

Metoda Schulzego stała się najbardziej rozpowszechnioną metodą Condorceta. Obecnie jest ona używana przez szereg organizacji, w tym: Wikimedia, Debian, Gentoo i Software in the Public Interest.

Szereg rozmaitych strategii heurystycznych zostało zaproponowanych przez informatyków w celu sprawnego obliczenia wyniku wyborów zgodnie z metodą Schulzego. Najważniejsze z nich to tzw. ścieżkowa (ang. path heuristic) i zbioru Schwartza (ang. Schwartz set heuristic), opisane poniżej. Wszystkie strategie stosujące heurystykę obliczają tego samego zwycięzcę i różnią się od siebie tylko detalami algorytmu.

Strategia ścieżkowa (path heuristic)

(c) Rspeer z angielskojęzycznej Wikipedii, CC-BY-SA-3.0

Przykładowy formularz do głosowania metodą Schulzego: Wyborca głosuje preferencyjnie, oznaczając wybranych kandydatów numerami: '1' obok najbardziej preferowanego kandydata, '2' obok następnego w kolejności preferencji, itd. Nieoznaczeni kandydaci stają się domyślnie uszeregowani według jednakowej, niższej preferencji od kogokolwiek oznaczonego

W zastosowaniu metody Schulzego (jak i innych ordynacjach preferencyjnych wyłaniającego jednego wygrywającego (ang. single-winner election methods), każdy formularz do oddawania głosu zawiera kompletny spis wszystkich biorących udział w wyborach kandydatów. Wyborca ustawia ich według preferencji, oznaczając wybranych kandydatów numerami (zaznaczając '1' obok najbardziej preferowanego kandydata, '2' obok następnego w kolejności preferencji itd.).

Wyborca może przypisać tę samą preferencję wielu kandydatom, jak i nie oznaczyć kandydata. Jeżeli wyborca nie oznaczy kandydata, znaczy to, że ściśle preferuje oznaczonych nad nieoznaczonym i że nie preferuje nikogo wśród nieoznaczonych.

Rys matematyczny

Gdzie d[V,W] stanowi liczbę wyborców, którzy ściśle preferują kandydata V nad kandydata W:

Ścieżka prowadząca od kandydata X do kandydata Y o mocy p to ciąg kandydatów C(1),...,C(n) o następujących właściwościach:

1. C(1) = X i C(n) = Y.
2. Dla wszystkich i = 1,...,(n-1): d[C(i),C(i+1)] > d[C(i+1),C(i)].
3. Dla wszystkich i = 1,...,(n-1): d[C(i),C(i+1)] ≥ p.
4. Istnieje i, 1 ≤ i ≤ n-1 takie że: d[C(i),C(i+1)] = p.

p[A,B], moc najsilniejszej ścieżki od kandydata A do kandydata B, to wartość maksymalna wśród ścieżek od kandydata A do kandydata B. Jeżeli w ogóle nie istnieje ścieżka od kandydata A do kandydata B, wtedy p[A,B] : = 0.

Kandydat D jest lepszym od kandydata E, wtedy i tylko wtedy, gdy p[D,E] > p[E,D].

Kandydat D jest potencjalnie zwycięzcą (wygrywającym) wtedy i tylko wtedy, gdy p[D,E] ≥ p[E,D] dla każdego innego kandydata E.

Pseudokod

Zakładając C jako liczbę kandydatów biorących udział w wyborach, moce najsilniejszych ścieżek można obliczyć algorytmem Floyda-Warshalla. Poniższy pseudokod realizuje ten algorytm iteratywnie, od 1 do C. Jest to dokładne obliczenie, bez przybliżeń. Zdefiniowane ścieżki zaistniały jeszcze przed przeprowadzeniem tych obliczeń.

Wejście: d[i,j] stanowi liczbę wyborców, którzy ściśle preferują kandydata i nad kandydata j.

Wyjście: Kandydat i stanowi potencjalnego zwycięzcę wtedy i tylko wtedy, gdy „zwycięzca[i] = prawda”.

 1 od i : = 1 do C
 2    od j : = 1 do C
 3       jeżeli  i ≠ j wtedy
 4          jeżeli d[i,j] > d[j,i] wtedy
 5             p[i,j] := d[i,j]
 6          w przeciwnym wypadku
 7             p[i,j] := 0
 8
 9 od i : = 1 do C
10    od j : = 1 do C
11       jeżeli i ≠ j wtedy
12          od k : = 1 do C
13             jeżeli i ≠ k oraz j ≠ k wtedy
14                   p[j,k] : = max { p[j,k]; min { p[j,i]; p[i,k] } }
15
16 od i : = 1 do C
17    zwycięzca[i] := prawda
18    od j : = 1 do C
19       jeżeli i ≠ j oraz p[j,i] > p[i,j] wtedy
20             zwycięzca[i] := fałsz

Przykłady

Przykład 1

45 wyborców wybiera spośród 5 kandydatów:

5 ACBED (oznacza: pięciu wyborców wybrało preferencyjnie: A > C > B > E > D)

5 ADECB

8 BEDAC

3 CABED

7 CAEBD

2 CBADE

7 DCEBA

8 EBADC

Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.

strongest paths (najsilniejsze ścieżki):

	... do A	... do B	... do C	... do D	... do E
od A ...		A-(30)-D-(28)-C-(29)-B	A-(30)-D-(28)-C	A-(30)-D	A-(30)-D-(28)-C-(24)-E
od B ...	B-(25)-A		B-(33)-D-(28)-C	B-(33)-D	B-(33)-D-(28)-C-(24)-E
od C ...	C-(29)-B-(25)-A	C-(29)-B		C-(29)-B-(33)-D	C-(24)-E
od D ...	D-(28)-C-(29)-B-(25)-A	D-(28)-C-(29)-B	D-(28)-C		D-(28)-C-(24)-E
od E ...	E-(31)-D-(28)-C-(29)-B-(25)-A	E-(31)-D-(28)-C-(29)-B	E-(31)-D-(28)-C	E-(31)-D

Kandydat E jest potencjalnym wygrywającym, ponieważ p[E,X] ≥ p[X,E] dla każdego innego kandydata X.

Przykład 2

30 wyborców wybiera spośród 4 kandydatów:

5 ACBD

2 ACDB

3 ADCB

4 BACD

3 CBDA

3 CDBA

1 DACB

5 DBAC

4 DCBA

Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.

Najsilniejsze ścieżki:

	... do A	... do B	... do C	... do D
od A ...		A-(20)-C-(21)-B	A-(20)-C	A-(20)-C-(17)-D
od B ...	B-(19)-A		B-(19)-A-(20)-C	B-(19)-A-(20)-C-(17)-D
od C ...	C-(21)-B-(19)-A	C-(21)-B		C-(17)-D
od D ...	D-(18)-B-(19)-A	D-(18)-B	D-(18)-B-(19)-A-(20)-C

Kandydat D jest potencjalnym wygrywającym, ponieważ p[D,X] ≥ p[X,D] dla każdego innego kandydata X.

Przykład 3

30 wyborców wybiera spośród 5 kandydatów:

3 ABDEC

5 ADEBC

1 ADECB

2 BADEC

2 BDECA

4 CABDE

6 CBADE

2 DBECA

5 DECAB

Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.

Najsilniejsze ścieżki:

	... do A	... do B	... do C	... do D	... do E
od A ...		A-(18)-B	A-(21)-D-(20)-C	A-(21)-D	A-(21)-E
od B ...	B-(19)-E-(20)-C-(19)-A		B-(19)-E-(20)-C	B-(19)-E-(20)-C-(19)-A-(21)-D	B-(19)-E
od C ...	C-(19)-A	C-(19)-A-(18)-B		C-(19)-A-(21)-D	C-(19)-A-(21)-E
od D ...	D-(20)-C-(19)-A	D-(20)-C-(19)-A-(18)-B	D-(20)-C		D-(30)-E
od E ...	E-(20)-C-(19)-A	E-(20)-C-(19)-A-(18)-B	E-(20)-C	E-(20)-C-(19)-A-(21)-D

Kandydat B jest potencjalnym wygrywającym, ponieważ p[B,X] ≥ p[X,B] dla każdego innego kandydata X.

Przykład 4

9 wyborców wybiera spośród 4 kandydatów:

3 ABCD

2 DABC

2 DBCA

2 CBDA

Krytyczne przegrane wśród najsilniejszych ścieżek (ang. strongest paths) są tu pogrubione.

Najsilniejsze ścieżki:

	... do A	... do B	... do C	... do D
od A ...		A-(5)-B	A-(5)-C	A-(5)-B-(5)-D
od B ...	B-(5)-D-(6)-A		B-(7)-C	B-(5)-D
od C ...	C-(5)-D-(6)-A	C-(5)-D-(6)-A-(5)-B		C-(5)-D
od D ...	D-(6)-A	D-(6)-A-(5)-B	D-(6)-A-(5)-C

Kandydat B i kandydat D są potencjalnymi wygrywającymi, ponieważ p[B,X] ≥ p[X,B] dla każdego innego kandydata X, jak i p[D,Y] ≥ p[Y,D] dla każdego innego kandydata Y.

Strategia zbioru Schwartza (Schwartz set heuristic)

Zbiór Schwartza

Definicja zbioru Schwartza, według zastosowania w metodzie Schulzego to:

1. Zbiór niepokonanych jest zbiorem kandydatów, z których żaden nie przegrał z nikim poza zbiorem.
2. Skrajnie wewnętrzny zbiór niepokonanych to zbiór niepokonanych, który nie zawiera w sobie podzbioru stanowiącego zbiór niepokonanych.
3. Zbiór Schwartza jest zbiorem kandydatów, którzy należą do skrajnie wewnętrznych zbiorów niepokonanych.

Rys matematyczny

Wyborcy głosują przez wykonanie preferencyjnego rankingu kandydatów, jak w każdym innym głosowaniu metodą Condorceta.

Metoda Schulzego stosuje zestawianie kandydatów parami według Condorceta, w następstwie czego wybierany jest zwycięzca każdego takiego zestawienia.

Następnie, metoda Schulzego postępuje algorytmicznie w następujący sposób: w celu wybrania jednego zwycięzcy (lub w celu otrzymania rankingu):

1. Oblicz zbiór Schwartza przez spisanie wszystkich (bez opuszczania) przegranych.
2. Jeżeli nie zaistnieje przegrana pośród elementów tego zbioru, wtedy element ten wygrywa lub elementy te (w liczbie mnogiej, w wypadku remisu) wygrywają, i na tym kończy się obliczenie.
3. W przeciwnym przypadku opuść (ang. drop) najsłabszą przegraną (lub przegrane, w przypadku remisowych przegranych: ex æquo) zaistniałą w zestawieniu pomiędzy dwoma elementami tego zbioru. Wykonaj ponownie polecenie nr 1.

Przykład z wyborem stolicy Tennessee

Sytuacja

Oto przykład fikcyjnego wyboru stolicy stanu Tennessee spośród kilku miast-kandydatów. Populacja tego stanu jest skoncentrowana głównie wokół jego czterech największych miast, które rozrzucone są na mapie stanu. W tym fikcyjnym przypadku wszyscy mieszkańcy stanu zamieszkują te miasta i pragną mieszkać jak najbliżej stolicy.

Kandydatami na stolicę są:

• Memphis, największe miasto stanu, gdzie mieszka 42% wyborców, lecz ulokowane jest daleko od pozostałych miast.
• Nashville, gdzie mieszka 26% wyborców.
• Knoxville, gdzie mieszka 17% wyborców.
• Chattanooga, gdzie mieszka 15% wyborców.

Preferencje tych wyborców ułożyłyby się mianowicie:

Rezultat zastosowania metody Schulzego przedstawiony jako tablica:

• [A] przedstawia wyborców, którzy preferowali kandydata opisanego w kolumnie od kandydata opisanego rzędowo
• [B] przedstawia wyborców, którzy preferowali kandydata opisanego rzędowo od kandydata opisanego w kolumnie

Wygrani z poszczególnych zestawień par

Na początek, spisane tu zostały wszystkie możliwe pary, ze wskazaniem kandydata wygrywającego w tychże parach:

Można tu użyć albo liczby oddanych głosów, albo procentowe zestawienia ułamka oddanych głosów; wybór tu jest bez znaczenia.

Opuszczanie (dropping)

Następnie, oto spis miast-kandydatów, z bilansem dla każdego z nich (wygrane-przegrane)

• Nashville 3-0
• Chattanooga 2-1
• Knoxville 1-2
• Memphis 0-3

Zbiorem Schwartza jest tu zbiór jednoelementowy zawierający Nashville, jako że Nashville bije wszystkie inne miasta wynikiem trzy do zera. Na tej podstawie, Nashville wygrywa wybory.

Przykład z niejednoznacznością

Dajmy na to, że zaistniała niejednoznaczność co do popularności kandydatów: A, B, C, i D.

• A > B 68%
• C > A 52%
• A > D 62%
• B > C 72%
• B > D 84%
• C > D 91%

W tej sytuacji, zbiór Schwartza zawiera A, B i C, ponieważ każdy z nich bije kandydaturę D.

• A > B 68%
• B > C 72%
• C > A 52%

Zgodnie z metodą Schulzego, opuszczamy (ang. drop) najmniejszą zaistniałą różnicę, toteż pozbywamy się: C > A i zostaje nam:

• A > B 68%
• B > C 72%

Nowy zbiór Schwartza to zbiór zawierający tylko A, jako że żadne miasto spoza tego zbioru nie bije A. Po tym obliczeniu A, jako element zbioru jednoelementowego, wygrywa wybory.

Podsumowanie

W powyższym (pierwszym) przykładzie wyborów metodą Schulzego, zwyciężyło miasto-kandydat Nashville. Taki wynik jest zagwarantowany metodą Condorceta^[1]. W przypadku zastosowania ordynacji proporcjonalnej lub innej metody, Memphis wygrałoby jako miasto mające największą populację, pomimo tego, że Nashville wygrywa każde zestawienie w symulowanych wyborach przeprowadzonych wśród par miast. Nashville wygrywa także przy zastosowaniu metody Bordy. Za to metoda natychmiastowej dogrywki^[5] w tym przypadku wskazałaby na stolicę miasto-kandydata Knoxville, pomimo tego, że więcej wyborców preferowało Nashville nad Knoxville.

Kryteria spełnione i niespełnione

Kryteria spełnione

Metoda Schulzego spełnia następujące kryteria:

• Uniwersalność
• Suwerenność
• Brak dyktatury
• Kryterium Pareta^[6]
• Kryterium monotoniczności^[7]
• Kryterium większości wyborczej
• Kryterium Condorceta
• Przegrany według kryterium Condorceta
• Kryterium Smitha
• Kryterium Schwartza
• Lokalna niezależność nieistotnych alternatyw^[8]
• Kryterium wzajemnych większości^[9]
• Kryterium independence of clones^[10][11]
• Kryterium reversal symmetry^[12][13]
• Kryterium mono-append^[14]
• Kryterium mono-add-plump^[15]
• Kryterium resolvability^[16][17]
• Algorytm wielomianowy^[18]

Jeżeli wygrywające głosy według kryterium Condorceta są użyte jako definiujące daną moc przegrania wyborów, metoda ta również spełnia następujące dodatkowe kryteria:

• Kryterium Woodalla względnej większości^[19][20]
• Kryterium Woodalla CDTT^[20][21]

Jeżeli różnice w wygranych w parach według Condorceta są użyte do zdefiniowania mocy przegrania wyborów, metoda ta również spełnia następujące dodatkowe kryterium:

• Kryterium uzupełniania symetrycznego^[22] (ang. Symmetric-completion)

Kryteria niespełnione

Metoda Schulzego nie spełnia następujących kryteriów:

• Jakiekolwiek kryteria niewspółmierne z kryterium Condorceta (np. niezależność nieistotnych alternatyw, kryterium partycypacji^[23][24], kryterium spójności^[25], odporność na głosowanie taktyczne^[26], kryterium later-no-harm^[27].

Niezależność nieistotnych alternatyw

Metoda Schulzego nie spełnia kryterium niezależności nieistotnych alternatyw^[28]. Natomiast, cechuje ją słabsza właściwość znana jako lokalna niezależność nieistotnych alternatyw^[8].

Można tę właściwość wyrazić następująco: jeżeli jeden kandydat (X) wygrywa wybory, po czym nowa alternatywa (Y) jest dodana, X wygra rozszerzone wybory, o ile Y nie jest elementem zbioru Smitha. Lokalna niezależność nieistotnych alternatyw implikuje spełnienie kryterium Condorceta.

Porównanie z innymi metodami głosowań preferencyjnych w przypadku jednego wygrywającego

Porównanie metody Schulzego z innymi metodami ordynacji preferencyjnej, w przypadku zaistnienia tylko jednego zwycięzcy:

Różnice zaistniałe pomiędzy metodą Schulzego i metodą znana po angielsku jako Ranked Pairs opisano w sekcji nr 9 artykułu autorstwa Markusa Schulzego „A New Monotonic, Clone-Independent, Reversal Symmetric, and Condorcet-Consistent Single-Winner Election Method (Part 1 of 5)”^[32].

Historia metody Schulzego

Markus Schulze opracował tę metodę w 1997. Po raz pierwszy została naświetlona w forum publicznym (na liście mailingowej) w 1998^[33] i w 2000^[34]. W następnych latach metoda Schulzego została zaadaptowana w celach wyborczych przez m.in. Software in the Public Interest (2003)^[35], Debian (2003)^[36], UserLinux (2003), Gentoo (2005), TopCoder (2005) i Sender Policy Framework (2005). Pierwsze monografie na temat metody Schulzego napisali: Nicolaus Tideman (2006) i Stahl z Johnsonem (2007).

Zastosowanie metody Schulzego

Formularz do oddawania głosu zastosowany w wyborach do rady Wikimedia's Board of Trustees

Metoda Schulzego nie jest jeszcze stosowana w wyborach rządowych. Natomiast obecnie zaczyna cieszyć się uznaniem i poparciem szeregu organizacji publicznych i społecznych. Wśród organizacji użytkujących Metodę Schulzego są następujące:

• The Alma Mater Society of the University of British Columbia (AMS)^[37] i Langara Students' Union (LSU)^[38] stosują metodę Schulzego dla potrzeb określenia stopnia uzyskanego wsparcia w ankietach na zasadzie głosowania preferencyjengo.
• Annodex Association^[39]
• Blitzed.org^[40][41]
• BoardGameGeek^[42]
• Codex Alpe Adria^[43][44]
• County Highpointers^[45][46]
• Debian^[36][47]
• EnMasse (fora internetowe)^[48]
• EuroBillTracker^[49]
• Fair Trade Northwest^[50]
• Free Software Foundation Latin America (FSFLA)^[51]
• Gentoo Foundation^[52]
• Strażnik Prywatności GNU^[53]
• Kingman Hall^[54]
• Kumoricon^[55]
• Mathematical Knowledge Management Interest Group^[56]
• Metalab^[57]
• Music Television (MTV)^[58]
• North Shore Cyclists^[59][60]
• OpenCouchSurfing^[61][62]
• Pittsburgh Ultimate^[63][64]
• RPMrepo^[65][66]
• Sender Policy Framework (SPF)^[67]
• Software in the Public Interest (SPI)^[35]
• Students for Free Culture^[68]
• TopCoder^[69]
• Wikimedia Foundation^[70]

Wikimedia Foundation

Największymi wyborami przeprowadzonymi dotychczas (wrzesień 2008) metodą Schulzego były wybory do rady Wikimedia's Board of Trustees w czerwcu 2008^[70]: o jeden mandat ubiegało się 15 kandydatów, wybieranych potencjalnie przez 26 000 uprawnionych wyborców; w praktyce zgłoszono 3019 formularzy (czyli oddano tyle głosów, licząc każdego wyborcę jako jeden głos).

Jako że Chen wygrał pod względem kryterium Condorceta, on został wybrany do rady. Ponadto zaistniał remis w wyborach o miejsca od 6. do 9. pomiędzy Heiskanen, Postlethwaite, Smith i Saintonge. Heiskanen wygrał w zestawieniu w parze z Postlethwaite; Postlethwaite z Smith; Smith z Saintonge; Saintonge z Heiskanen.

Każda liczba przedstawia wyborców, którzy przypisali preferencję kandydatowi po lewej, wyższą od tej przypisanej przez nich kandydatowi wskazanego u góry tabeli. Liczba na zielono reprezentuje wygraną w parze przez kandydata wskazanego w tablicy w kolumnie po lewej. Liczba na czerwono reprezentuje przegraną przez kandydata wskazanego w kolumnie po lewej.

Przypisy

Schulze1: Markus Schulze: "A New Monotonic, Clone-Independent, Reversal Symmetric, and Condorcet-Consistent Single-Winner Election Method" [dostęp=2008-09-21] (ang.)

Linki zewnętrzne

Uwaga: Metodę Schulzego w źródłach poniżej oddają takie skrótowce jak CSSD, SSD, czy terminy beatpath, path winner, itp.

Głównie odniesienia

• Markus Schulze: Proposed Statutory Rules for the Schulze Single-Winner Election Method (ang.)
• Markus Schulze: A New Monotonic and Clone-Independent Single-Winner Election Method (także tu: [1] i [2]) (ang.)
• Markus Schulze: A New Monotonic, Clone-Independent, Reversal Symmetric, and Condorcet-Consistent Single-Winner Election Method (ang.)
• Markus Schulze: Free Riding and Vote Management under Proportional Representation by the Single Transferable Vote (ang.)
• Markus Schulze: Implementing the Schulze STV Method (ang.)
• Markus Schulze: A New MMP Method (ang.)
• Markus Schulze: A New MMP Method (Part 2) (ang.)

Instrukcje (tutorials)

• Schulze-Methode, Uniwersytet w Stuttgarcie (niem.)

Argumenty za i przeciw

• Blake Cretney: [3] (ang.)
• James Green-Armytage: Voting Methods Survey (ang.)
• Rob LeGrand: Descriptions of ranked-ballot voting methods (ang.)
• Rob Loring: Accurate Democracy (ang.)
• Warren D. Smith: Schulze beatpaths method (ang.)
• Kevin Venzke: Election Methods and Criteria (ang.)
• Jochen Voss: The Debian Voting System
• election-methods: a mailing list containing technical discussions about election methods (ang.)

Artykuły w czasopismach naukowych

• Rosa Camps, Xavier Mora, and Laia Saumell: A Continuous Rating Method for Preferential Voting (ang.)
• Paul E. Johnson: Voting Systems (ang.)
• Tommi Meskanen and Hannu Nurmi: Distance from Consensus: a Theme and Variations (ang.)
• Tommi Meskanen and Hannu Nurmi: Analyzing Political Disagreement (ang.)
• Warren D. Smith : Descriptions of voting systems (ang.)
• Peter A. Taylor: Election Systems (ang.)
• Martin Wilke: Personalisierung der Verhältniswahl durch Varianten der Single Transferable Vote (niem.)
• Anbu Yue, Weiru Liu, and Anthony Hunter: Approaches to Constructing a Stratified Merged Knowledge Base (ang.)

Monografie i inne książki

• Saul Stahl and Paul E. Johnson: Understanding Modern Mathematics ISBN 0-7637-3401-2 (ang.)
• Nicolaus Tideman: Collective Decisions and Voting: The Potential for Public Choice [4], ISBN 0-7546-4717-X (ang.)

Oprogramowanie

• Blake Cretney: Voting Software Project
• Mathew Goldstein: Condorcet with Dual Dropping Perl Scripts (ang.)
• Eric Gorr: Condorcet Voting Calculator
• Benjamin Mako Hill: Selectricity and RubyVote (ang.)
• Thomas Hirsch: Java implementation of the Schulze method (ang.)
• Rob Lanphier: Electowidget
• Evan Martin: Haskell Condorcet Module (ang.)
• Andrew Myers: Condorcet Internet Voting Service (CIVS) (ang.)
• Brian Olson: BetterPolls.com (ang.)
• Jeffrey O’Neill: OpenSTV (ang.)

Przedsięwzięcia parlamentarne i wyborcze

• Arizonans for Condorcet Ranked Voting [5] (ang.)
• Arizona Competitive Elections Reform Act (Ustawa w stanie Arizona dot. reformy wyborczej) (ang.)
• Przewodnik dla wyborcy w stanie Arizona, USA, azvoterform.com (ang.)
• http://www.azcentral.com/members/Blog/PoliticalInsider/22368, azcentral.com (ang.)
• Felieton w East Velley Tribune, eastvalleytribune.com (ang.)
• "Arizona high school student files paperwork for initiatives for IRV and easeir ballot access", ballot-access.org (ang.)