Metody Lapunowa

Ten artykuł od 2011-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Metody Lapunowa – służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego.

Wstęp

Aleksandr Lapunow przedstawił dwie metody analizy stabilności. Pierwsza z tych metod nazywana jest metodą pośrednią i pozwala na badanie stabilności lokalnej, druga – nazywana jest metodą bezpośrednią i służy do badania stabilności w ograniczonym lub nieograniczonym obszarze przestrzeni stanów układów nieliniowych. W późniejszym czasie stworzono także inne odmiany i udoskonalenia metod Lapunowa.

Druga metoda Lapunowa stanowi najbardziej ogólną metodę określania stabilności systemów nieliniowych i/lub niestacjonarnych. Metoda ta ma zastosowanie do układów dowolnego rzędu (ciągłych i dyskretnych, liniowych i nieliniowych). Bardzo dogodne jest to, że korzystając z drugiej metody Lapunowa można określić stabilność układu bez rozwiązywania równań stanu. Mimo że metoda ta wymaga sporo doświadczenia i pomysłowości, może dać odpowiedź odnośnie do stabilności układów nieliniowych, wówczas gdy inne metody zawiodą.

Druga metoda Lapunowa ma jednak istotną wadę: problem wyznaczania dla danego układu funkcji Lapunowa. Nie istnieje żadne ogólne efektywne podejście do wyznaczania tych funkcji. Do poszukiwania stosownych funkcji Lapunowa często używa się metody prób i błędów, doświadczenia, intuicji. Pomocne mogą tu być niektóre proste techniki matematyczne takie jak metoda Krasowskiego lub metoda zmiennych gradientów.

Metody stacjonarne (układ niezależny od czasu)

Pierwsza metoda

Dany jest punkt równowagi ${\displaystyle x_{e}}$ układu:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x).}$

Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu ${\displaystyle x_{e}}$ rozwijając funkcję ${\displaystyle f(x)}$ w szereg Taylora:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x_{e})+{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{e})(x-x_{e})+O((x-x_{e})^{2}),}$

gdzie:

pochodna cząstkowa ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{e})}$ jest oznaczona jako ${\displaystyle A,}$

${\displaystyle O}$ to błąd przybliżenia liniowego.

Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:

${\displaystyle {\frac {d\xi }{dt}}=A\xi }$

na podstawie którego można wnioskować o zachowaniu układu ${\displaystyle f(x).}$ Jeśli punkt równowagi ${\displaystyle \xi _{e}}$ jest asymptotycznie stabilny to ${\displaystyle x_{e}}$ jest asymptotycznie stabilny. Jeśli ${\displaystyle \xi _{e}}$ jest niestabilny to ${\displaystyle x_{e}}$ jest niestabilny. Zwykła stabilność ${\displaystyle \xi _{e}}$ nie pociąga za sobą stabilności ${\displaystyle x_{e}.}$

Druga metoda

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji ${\displaystyle V(x)}$ takiej, że:

1. ${\displaystyle V(x_{e})=0,}$
2. ${\displaystyle V(x)>0}$ dla każdego ${\displaystyle x\neq x_{e},}$
3. ${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leqslant 0.}$

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla ${\displaystyle x\neq x_{e}}$), to układ jest asymptotycznie stabilny. Warunek 3. zwykle sprawdza się w postaci ${\displaystyle \langle \mathrm {grad} \,V(x),f(x)\rangle \leqslant 0}$ odwołującej się bezpośrednio do prawej strony równania różniczkowego.

Metody niestacjonarne (układ zależy od czasu)

Pierwsza metoda

Dany jest punkt równowagi ${\displaystyle x_{e}}$ układu:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,t).}$

Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu ${\displaystyle x_{e}}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x_{e},t)+{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{e},t)(x-x_{e})+hot(x,t),}$

gdzie pochodna cząstkowa ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{e},t)}$ jest oznaczona jako ${\displaystyle A(t).}$

Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:

${\displaystyle {\frac {dZ}{dt}}=A(t)Z(t).}$

Tak samo jak w przypadku stacjonarnym na podstawie punktu równowagi przybliżenia liniowego wnioskuje się o punkcie równowagi badanego układu.

Druga metoda

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji ${\displaystyle V(x,t)}$ takiej, że:

posiada ona ciągłe pochodne cząstkowe po ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle t,}$

${\displaystyle V(x_{e},t)=0}$ dla każdego ${\displaystyle t,}$

${\displaystyle V(x,t)>0}$ dla każdego ${\displaystyle x\neq x_{e},}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x,t)\leqslant 0.}$

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla ${\displaystyle x\neq x_{e}}$), to układ jest asymptotycznie stabilny. Dodatkowo, jeśli możemy ograniczyć z dołu i góry funkcję Lapunowa za pomocą dwóch pomocniczych funkcji ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}$ to ${\displaystyle x_{e}}$ jest wykładniczo stabilnym punktem równowagi.