Miara produktowa

Miara produktowa – dla danych dwóch miar, miara określona na produktowej przestrzeni mierzalnej, która iloczynowi kartezjańskiemu zbiorów mierzalnych (należących do odpowiednich ${\displaystyle \sigma }$-algebr) przyporządkowuje iloczyn ich miar.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle (X_{1},{\mathcal {A}}_{1})}$ oraz ${\displaystyle (X_{2},{\mathcal {A}}_{2})}$ będą dwiema przestrzeniami mierzalnymi oraz niech ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}}$ oznacza ${\displaystyle \sigma }$-algebrę w zbiorze ${\displaystyle X_{1}\times X_{2},}$ generowaną przez zbiory postaci ${\displaystyle B_{1}\times B_{2},}$ gdzie ${\displaystyle B_{1}\in {\mathcal {A}}_{1}}$ oraz ${\displaystyle B_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}.}$ Jeżeli miary ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ są ${\displaystyle \sigma }$-skończone, to istnieje dokładnie jedna miara na ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2},}$ nazywana miarą produktową i oznaczana dalej symbolem ${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2},}$ o tej własności, że

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\cdot \mu _{2}(B_{2})}$

dla dowolnych ${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {A}}_{i},}$ gdzie ${\displaystyle i=1,2.}$ Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób indukcyjnie rozszerzyć na dowolną skończoną liczbę miar.

Niech ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}.}$ Odpowiednio, dolnym i górnym cięciem zbioru ${\displaystyle E}$ wzdłuż ${\displaystyle x\in X_{1}}$ bądź ${\displaystyle y\in X_{2}}$ nazywa się zbiory:

${\displaystyle E_{x}=\{y\in X_{2}\colon (x,y)\in E\},}$

${\displaystyle E^{y}=\{x\in X_{1}\colon (x,y)\in E\}.}$

Funkcje:

${\displaystyle X_{1}\ni x_{1}\mapsto \mu _{2}(E_{x_{1}}),}$

${\displaystyle X_{2}\ni x_{2}\mapsto \mu _{1}(E^{x_{2}})}$

są mierzalne (względem odpowiednio ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$) oraz spełniona jest tzw. zasada Cavalieriego, która pozwala opisać miarę produktową wzorami:

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\;\operatorname {d} \mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\;\operatorname {d} \mu _{1}(x).}$

Istnienie miary produktowej, nawet gdy któraś z miar ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ nie jest ${\displaystyle \sigma }$-skończona, wynika z twierdzenia Hahna-Kołmogorowa.

Produkt dowolnej rodziny miar probabilistycznych

Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób rozszerzyć na dowolną rodzinę miar probabilistycznych ${\displaystyle \{\mu _{t}\colon \,t\in T\}}$ określonych odpowiednio na przestrzeniach mierzalnych ${\displaystyle (\Omega _{t},{\mathcal {A}}_{t}),\,t\in T.}$ Można udowodnić, że istnieje dokładnie jedna miara ${\displaystyle \mu }$ określona na ${\displaystyle \sigma }$-ciele produktowym

${\displaystyle \bigotimes _{t\in T}{\mathcal {A}}_{t}}$

o tej własności, że

${\displaystyle \mu (\prod _{t\in T}A_{t})=\prod _{t\in T}\mu _{t}(A_{t}),}$

dla dowolnej rodziny ${\displaystyle \{A_{t}\colon A_{t}\subseteq \Omega _{t},\,t\in T\}}$ o własności, że tylko skończona liczba zbiorów ${\displaystyle A_{t}}$ jest różna od ${\displaystyle \Omega _{t}.}$ Iloczyn po prawej stronie rozumie się więc tu jako iloczyn tylko skończenie wielu liczb nieujemnych.

Miara w kostce Cantora

Niech ${\displaystyle \mu }$ będzie miarą w zbiorze ${\displaystyle \{0,1\},}$ która zbiorom ${\displaystyle \{0\}}$ i ${\displaystyle \{1\}}$ przyporządkowuje wartość ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$ Jeżeli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą kardynalną, to miara Haara w kostce Cantora ${\displaystyle \{0,1\}^{\kappa }}$ może być uzyskana jako miara produktowa ${\displaystyle \kappa }$ kopii miary ${\displaystyle \mu .}$

Zobacz też

• twierdzenie Fubiniego
• zależność zmiennych losowych

Bibliografia

• 8.2. Product measures and iterated integrals. W: Michel Loève: Probability Theory vol. I. Wyd. IV. Springer, 1977, s. 135–137. ISBN 0-387-90210-4.
• 35. Product measures. W: Paul Halmos: Measure theory. Springer, 1974, s. 143–145. ISBN 0-387-90088-8.
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 140–147.