Otoczenie (matematyka)

Otoczenie punktu – dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Definicja otoczenia punktu

Zbiór ${\displaystyle V}$ na płaszczyźnie jest otoczeniem punktu ${\displaystyle p}$ jeżeli istnieje koło (bez brzegu) zawierające ${\displaystyle p}$ i zawarte w ${\displaystyle V.}$

Niech ${\displaystyle x}$ będzie elementem przestrzeni topologicznej ${\displaystyle (X,\tau ).}$ Zbiór ${\displaystyle V\subseteq X}$ jest otoczeniem punktu ${\displaystyle x,}$ gdy istnieje zbiór otwarty ${\displaystyle U\in \tau ,}$ dla którego

${\displaystyle x\in U\subseteq V.}$

Innymi słowy, zbiór ${\displaystyle V}$ jest otoczeniem punktu ${\displaystyle x,}$ jeśli ${\displaystyle x\in {\text{Int}}V,}$ gdzie ${\displaystyle {\text{Int}}V}$ oznacza wnętrze zbioru ${\displaystyle V}$^[1].

Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.

Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt^[2][3]. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.

Definicja otoczenia zbioru

Niech ${\displaystyle S}$ jest podzbiorem ${\displaystyle X.}$ Otoczeniem zbioru ${\displaystyle S}$ jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera ${\displaystyle S.}$ W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru

Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.

Otoczenia w przestrzeniach metrycznych

W przestrzeni metrycznej ${\displaystyle X}$ z metryką ${\displaystyle d}$ otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.

Definicja otoczenia punktu

${\displaystyle V}$ jest otoczeniem punktu ${\displaystyle p}$ jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie ${\displaystyle p}$ i promieniu ${\displaystyle r>0,}$ tj.

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(x,p)<r\},}$

która jest zawarta w zbiorze ${\displaystyle V.}$

Definicja otoczenia jednostajnego zbioru

Zbiór ${\displaystyle S}$ na płaszczyźnie i jednostajne otoczenie ${\displaystyle V}$ zbioru ${\displaystyle S.}$

Otoczeniem jednostajnym zbioru ${\displaystyle S}$ w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór ${\displaystyle V}$ o tej własności, że istnieje taka liczba ${\displaystyle r>0,}$ że dla każdego ${\displaystyle p\in S}$ kula otwarta o środku w punkcie ${\displaystyle p}$ i promieniu ${\displaystyle r,}$ tj.

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(x,p)<r\},}$

jest zawarta w zbiorze ${\displaystyle V.}$

Innymi słowy, zbiór ${\displaystyle V}$ jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru ${\displaystyle S.}$

System otoczeń a topologia

Jeżeli dla każdego punktu ${\displaystyle x}$ zbioru ${\displaystyle X}$ dana jest pewna rodzina ${\displaystyle B(x)}$ podzbiorów ${\displaystyle U}$ zbioru ${\displaystyle X}$ spełniająca warunki:

1. dla każdego ${\displaystyle U\in B(x)}$ mamy, że ${\displaystyle x\in U,}$
2. dla dowolnego ${\displaystyle U\in B(x)}$ istnieje takie ${\displaystyle V\in B(x),}$ że ${\displaystyle U\in B(y)}$ dla wszelkich ${\displaystyle y\in V,}$

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze ${\displaystyle X{:}}$ zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem ${\displaystyle x}$ zawiera również pewien zbiór z rodziny ${\displaystyle B(x).}$

Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki

Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę ${\displaystyle (X,\tau )}$ złożoną ze zbioru ${\displaystyle X}$ oraz rodziny

${\displaystyle \tau =\{\tau _{x}\}_{x\in X}}$

zbiorów ${\displaystyle \tau _{x},}$ których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu ${\displaystyle x}$) zbioru ${\displaystyle X}$ spełniające następujące aksjomaty:

1. Każde otoczenie ${\displaystyle x}$ zawiera ${\displaystyle x}$ oraz zbiór ${\displaystyle X}$ jest otoczeniem każdego swojego punktu.
2. Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie ${\displaystyle x}$ jest także otoczeniem ${\displaystyle x.}$
3. Przecięcie dowolnej pary otoczeń ${\displaystyle x}$ jest także otoczeniem ${\displaystyle x.}$
4. W każdym otoczeniu ${\displaystyle x}$ zawarte jest takie otoczenie ${\displaystyle x,}$ które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu^[4].

Otoczenie a sąsiedztwo

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem jeżeli ${\displaystyle V}$ jest otoczeniem punktu ${\displaystyle x,}$ to zbiór

${\displaystyle V_{x}=V\setminus \{x\}}$

jest sąsiedztwem punktu ${\displaystyle x.}$

Przykłady otoczeń otwartych

• Na prostej rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} }$ z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu ${\displaystyle x}$ jest np. dowolny przedział otwarty ${\displaystyle (a,b)}$ zawierający ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), tj. ${\displaystyle a<x<b.}$ Sąsiedztwem punktu ${\displaystyle x}$ jest ten przedział bez punktu ${\displaystyle x,}$ tj. ${\displaystyle (a,b)\setminus \{x\}=(a,x)\cup (x,b).}$

• Na płaszczyźnie euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ otoczeniem otwartym punktu ${\displaystyle x}$ jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu.
• W przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ otoczeniem otwartym punktu ${\displaystyle x}$ jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez tego punktu.

Przypisy