Parkietaż

Parkietaż chodnika (elementy nie są wielokątami)
Plaster miodu jest przykładem parkietażu spotykanego w przyrodzie

Parkietaż, kafelkowanie lub tesselacja[1] – pokrycie płaszczyzny wielokątami przylegającymi i nie zachodzącymi na siebie[2]. Można rozpatrywać parkietaże części płaszczyzny oraz powierzchni, które nie są płaskie (np. parkietaże sfery[3], np. kopuła geodezyjna). Można także badać parkietaże przestrzeni trójwymiarowej i przestrzeni wymiarów wyższych. Nie jest konieczne ograniczanie się do przestrzeni euklidesowych[4]. W praktyce (parkietaż chodnika na zdjęciu) elementy parkietażu nie muszą być wielokątami.

Parkietaże często pojawiają się w architekturze (np. Alhambra) i twórczości plastycznej (np. Maurits Cornelis Escher).

Typy parkietaży płaszczyzny

Parkietaż okresowy
Istnieje dla niego grupa przekształceń płaszczyzny przeprowadzająca jego elementy na siebie.
Parkietaż foremny
Składa się z przystających wielokątów foremnych.
Parkietaż regularny
Parkietaż, w którego każdym wierzchołku spotyka się taka sama grupa figur (z dokładnością do obrotu).

Cechą dobrze charakteryzującą parkietaż regularny jest liczba i rodzaj wielokątów stykających się w danym wierzchołku. Jeśli w wierzchołkach spotykają się: trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny i kwadrat, to taki parkietaż jest typu (3, 4, 6, 4). Kolejność liczb odczytuje się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Skrócenie zapisu osiąga się przez zapis potęgowy: jeśli liczba wystąpi razy po kolei, to zapisuje się to symbolem

Rodzaje parkietaży

Okresowe parkietaże foremne regularne (platońskie)
Istnieją tylko trzy takie parkietaże:
Okresowe parkietaże półforemne regularne (archimedesowskie, półforemne)
Istnieje tylko osiem takich parkietaży: Z tych samych wielokątów można budować różne parkietaże.
Okresowe parkietaże półforemne nieregularne
Przykładem jest parkietaż Johnsona, który ma dwa rodzaje wierzchołków: oraz
Okresowe parkietaże nieregularne
Przykładem może być parkietaż złożony z tylko jednego pięciokąta (potocznie zwanego „sfinksem”). Wielokąt ten jest na razie jedynym znanym pięciokątem, który można podzielić na 4 pięciokąty wzajemnie przystające do siebie i zarazem podobne do pięciokąta wyjściowego.
Parkietaże nieokresowe
Przykładem jest parkietaż Pearsona zbudowany z dwóch typów złotych deltoidów: wypukłego (kąty: 72°, 72°, 72°, 144°) oraz wklęsłego (kąty: 36°, 36°, 72°, 216°). Parkietażami tego typu są także parkietaże Penrose’a.
  • Przykład parkietażu Penrose'a

    Przykład parkietażu Penrose'a

  • Zobacz też

    Przypisy

    1. Za ang. tessellation, z późnołac. tessellatus: od tessellare, wykładać tesserami; z łac. tessella, zdr. od tessera.
    2. Coxeter, op. cit., s. 69
    3. Berger, op. cit., tłum. ros. 1984, s. 38-47
    4. Wilhelm Magnus, op. cit.

    Bibliografia

    • Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
    • Marcel Berger: Géométrie. Cz. 1. Paris: Nathan, 1977.
    • Grünbaum B., Shephard G. C.: Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman & Co., 1987. ISBN 0-7167-1193-1.
    • IV : Tessellations and Honeycombs. W: Coxeter H. S. M.: Regular Polytopes. Dover: 1973. ISBN 0-486-61480-8.
    • Wilhelm Magnus: Noneuclidean tesselations and their groups. Dover: Academic Press, 1974. ISBN 978-0-12465450-1.
    • Никулин В. В., Шафаревич И. Р.: Геометрия и группы. Москва: Наука, 1983.
    • Jacek Świątkowski: O bryłach i parkietażach platońskich. msn.uph.edu.pl/smp/. [dostęp 2016-04-21]. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-04-21)]. (pol.).

    Media użyte na tej stronie

    1-uniform n3.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    uniform tiling of Euclidean tiling, faces colored by sides
    Buckfast bee.jpg
    Autor: MikePhobos, Licencja: CC BY 2.5
    Abejas Buckfast
    1-uniform n7.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    uniform tiling of Euclidean tiling, faces colored by sides
    1-uniform n2.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    uniform tiling of Euclidean tiling, faces colored by sides
    1-uniform n1.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    uniform tiling of Euclidean tiling, faces colored by sides
    1-uniform n9.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    uniform tiling of Euclidean tiling, faces colored by sides
    1-uniform n6.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    uniform tiling of Euclidean tiling, faces colored by sides
    1-uniform n8.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    uniform tiling of Euclidean tiling, faces colored by sides
    1-uniform n10.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    uniform tiling of Euclidean tiling, faces colored by sides
    1-uniform n4.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    uniform tiling of Euclidean tiling, faces colored by sides
    2-uniform n18.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    2-uniform tiling, one of 20
    Wallpaper group-p3-1.jpg
    Example of wallpaper group type p3. Computer-enhanced photograph of a street pavement in Zakopane, Poland.
    1-uniform n5.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    uniform tiling of Euclidean tiling, faces colored by sides
    1-uniform n11.svg
    Autor: Tomruen, Licencja: CC BY-SA 4.0
    uniform tiling of Euclidean tiling, faces colored by sides
    Penrose Tiling (Rhombi).svg
    A Penrose tiling (P3) using thick and thin rhombi. Note the aperiodic structure, shared by all Penrose tilings. This particular Penrose tiling exhibits exact five-fold symmetry.