Pierścień noetherowski

Pierścień noetherowskipierścień, w którym każdy ciąg wstępujący (w sensie inkluzji) jego ideałów stabilizuje się, tzn. istnieje dla którego mówi się też wtedy, że w pierścień spełnia warunek rosnących łańcuchów (ACC) dla ideałów; pojęcie nosi nazwisko Emmy Noether.

Równoważnie pierścień jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał właściwy jest skończenie generowany, tzn. dla każdego ideału istnieją takie elementy dla których

Można też powiedzieć, że pierścień jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał tego pierścienia można przedstawić w postaci skończonej sumy ideałów głównych pierścienia

Prawdziwe jest również twierdzenie Hilberta o bazie: jeżeli pierścień jest noetherowski, to jego pierścień wielomianów również jest noetherowski.

Przykłady

  • Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim.
  • Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem noetherowskim (co więcej: każdy ideał tego pierścienia jest ideałem głównym).

Zobacz też

  • pierścień artinowski