Podłoga i sufit

Podłoga i sufit (ang. floor and ceiling) – funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.

Definicja formalna

Podłoga, część całkowita, cecha lub entier liczby rzeczywistej ${\displaystyle x,}$ oznaczana ${\displaystyle \lfloor x\rfloor ,}$ ${\displaystyle [x],}$ ${\displaystyle {\mbox{E}}(x)}$ lub ${\displaystyle {\mbox{Ent}}(x)}$ to największa liczba całkowita nie większa od ${\displaystyle x.}$ Symbolicznie:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{k\in \mathbb {Z} \colon k\leqslant x\}}$

Natomiast sufit lub cecha górna liczby rzeczywistej ${\displaystyle x}$ to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od ${\displaystyle x.}$ Liczbę tę oznaczamy symbolem ${\displaystyle \lceil x\rceil .}$ Symbolicznie:

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{k\in \mathbb {Z} \colon k\geqslant x\}}$

Częścią ułamkową bądź mantysą liczby rzeczywistej ${\displaystyle x}$ nazywa się liczbę ${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor .}$ Oznacza się ją ${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }$

Przykłady

${\displaystyle \lfloor 2{,}9\rfloor =2,\quad \lfloor -2\rfloor =-2,\quad \lfloor -2{,}1\rfloor =-3.}$

${\displaystyle \lceil 0\rceil =0,\quad \lceil 0{,}3\rceil =1,\quad \lceil -0{,}8\rceil =0,\quad \lceil -3{,}4\rceil =-3.}$

${\displaystyle \{2{,}567\}=0{,}567,\quad \{-4{,}23\}=-4{,}23-(-5)=0{,}77.}$

Nazwy

Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te oznaczane są tradycyjnie symbolami [·], ${\displaystyle {\mbox{Ent}},{\mbox{E}}}$ dla cechy i {·} dla mantysy.

Nazwy stosowane w tym artykule zostały wprowadzone przez Kennetha E. Iversona^[1][2], który zaproponował oznaczenie ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do sufitu oznaczanego ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil .}$ Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami nazw angielskich, odpowiednio: floor (podłoga) oraz ceiling (sufit).

Własności

Podłoga i sufit

Wykres funkcji podłoga

Wykres funkcji sufit

Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leqslant x<\lfloor x\rfloor +1}$

${\displaystyle \lceil x\rceil -1<x\leqslant \lceil x\rceil }$

Ponadto

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil }$

przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:

${\displaystyle \lceil x\rceil =\lfloor x\rfloor +1}$

Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.

Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:

${\displaystyle x\leqslant y\implies \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,}$

${\displaystyle x\leqslant y\implies \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil .}$

Ponadto:

• ${\displaystyle \lfloor x+y\rfloor \geqslant \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor ,}$
• ${\displaystyle \lfloor k+x\rfloor =k+\lfloor x\rfloor }$ dla dowolnego ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

Część ułamkowa

Część ułamkowa należy zawsze do przedziału ${\displaystyle [0;1),}$ tzn.

${\displaystyle 0\leqslant \{x\}<1}$

dla dowolnej liczby rzeczywistej ${\displaystyle x}$

Wykres mantysy

Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako ${\displaystyle x{\mbox{mod}}1,}$ gdzie ${\displaystyle {\mbox{mod}}}$ jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.

Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym ${\displaystyle t_{0}=1.}$

Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(\{ka\})=\int \limits _{0}^{1}f(t)\,dt}$

o ile funkcja ${\displaystyle f}$ jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.

Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.

Cecha i mantysa logarytmu

Cechę logarytmu liczby dodatniej można odczytać z jej zapisu pozycyjnego o tej samej podstawie co logarytm. Przykładowo cechę logarytmu dziesiętnego odczytujemy z zapisu w systemie dziesiętnym. Sposób odczytu jest następujący:

• Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej.
• Cecha logarytmu liczby dodatniej mniejszej od 1 jest ujemna i równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. W takiej sytuacji zapisuje się ją zwykle z nadkreśleniem zamiast znaku „–” (pozwala to odróżnić ją od następującej po niej mantysy zapisywanej jako liczba dodatnia).

Mantysa logarytmu to pozostała z niego część po odjęciu cechy. Jest to zawsze liczba z przedziału ${\displaystyle [0,1).}$

Przykłady

Mantysa logarytmów liczb postaci ${\displaystyle 10^{n}}$ (gdzie ${\displaystyle n}$ jest całkowite) wynosi ${\displaystyle 0,}$ np.:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\lg 0,000001&=&{\overline {6}},000\;000\\\lg 0,00001&=&{\overline {5}},000\;000\\\lg 0,0001&=&{\overline {4}},000\;000\\\lg 0,001&=&{\overline {3}},000\;000\\\lg 0,01&=&{\overline {2}},000\;000\\\lg 0,1&=&{\overline {1}},000\;000\\\lg 1&=&0,000\;000\\\lg 10&=&1,000\;000\\\lg 100&=&2,000\;000\\\lg 1\;000&=&3,000\;000\\\lg 10\;000&=&4,000\;000\\\lg 100\;000&=&5,000\;000\\\lg 1\;000\;000&=&6,000\;000\\\end{array}}}$

Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\lg 0,004028&=&{\overline {3}},605089\dots \\\lg 0,04028&=&{\overline {2}},605089\dots \\\lg 0,4028&=&{\overline {1}},605089\dots \\\lg 4,028&=&0,605089\dots \\\lg 40,28&=&1,605089\dots \\\lg 4\;028&=&3,605089\dots \\\lg 4\;028\;000&=&6,605089\dots \\\end{array}}}$

Przypisy