Porównanie topologii

Porównanie topologii – badanie relacji między dwiema topologiami w danym zbiorze. Jeżeli X jest zbiorem, to rodzina ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ wszystkich topologii jest częściowo uporządkowana przez relację zawierania. Dwie topologie ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}\in {\mathfrak {T}}}$ są więc

• nieporównywalne, gdy istnieją takie zbiory ${\displaystyle F_{1}\in \tau _{1}}$ i ${\displaystyle F_{2}\in \tau _{2},}$ że ${\displaystyle F_{1}\notin \tau _{2}}$ i ${\displaystyle F_{2}\notin \tau _{1}}$
• porównywalne, gdy ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ lub ${\displaystyle \tau _{2}\subseteq \tau _{1}.}$

W szczególności, jeżeli topologie ${\displaystyle \tau _{1}}$ i ${\displaystyle \tau _{2}}$ są porównywalne, to mówi się, że ${\displaystyle \tau _{2}}$ jest silniejsza, bogatsza bądź większa od ${\displaystyle \tau _{1},}$ a ${\displaystyle \tau _{1}}$ jest słabsza, uboższa bądź mniejsza od ${\displaystyle \tau _{2},}$ gdy

${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}.}$

Własności

Jeżeli${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2},}$ to słuszne są następujące stwierdzenia:

• Każdy zbiór otwarty w topologii ${\displaystyle \tau _{1}}$ jest również otwarty w topologii ${\displaystyle \tau _{2}.}$
• Każdy zbiór domknięty w topologii ${\displaystyle \tau _{1}}$ jest również domknięty w topologii ${\displaystyle \tau _{2}.}$
• Domknięcie zbioru otwartego w topologii ${\displaystyle \tau _{1}}$ jest zawarte w domknięciu tego zbioru w topologii ${\displaystyle \tau _{2}.}$
• Przekształcenie tożsamościowe ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon (X,\tau _{2})\to (X,\tau _{1})}$ jest ciągłe.
• Przekształcenie tożsamościowe ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon (X,\tau _{1})\to (X,\tau _{2})}$ jest otwarte.

W szczególności, jeżeli ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ są topologiami w zbiorze Y oraz funkcja ${\displaystyle f\colon (X,\tau _{1})\to (Y,\sigma _{2})}$ jest ciągła, to jest również ciągła jako funkcja

• ${\displaystyle f\colon (X,\tau _{1})\to (Y,\sigma _{1}),}$ gdy ${\displaystyle \sigma _{1}\subseteq \sigma _{2},}$
• ${\displaystyle f\colon (X,\tau _{2})\to (Y,\sigma _{2}),}$ gdy ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}.}$

Rodzina ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ wszystkich topologii w zbiorze X uporządkowana przez relację zawierania ma element najmniejszy (jest nim topologia trywialna/antydyskretna) i największy (topologia dyskretna).

Przykład

Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to w jej przestrzeni sprzężonej można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

• ${\displaystyle \tau ^{*},}$ tzw. mocną topologię, czyli topologię wyznaczoną przez normę w ${\displaystyle X^{*},}$
• ${\displaystyle (\tau ^{*})^{w},}$ słabą topologię w ${\displaystyle X^{*},}$
• ${\displaystyle \tau ^{w^{*}},}$ topologię *-słabą.

Zachodzi między nimi następujący związek:

${\displaystyle \tau ^{w^{*}}\subseteq (\tau ^{*})^{w}\subseteq \tau ^{*}.}$

Ogólniej, jeżeli ${\displaystyle (X,Y)}$ jest parą dualną, to każda topologia liniowa w Y zgodna z dualnością jest mocniejsza od słabej topologii (w sensie dualności ${\displaystyle (X,Y)}$).

Krata topologii

Rodzina ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ wszystkich topologii w zbiorze ${\displaystyle X}$ tworzy kratę zupełną z działaniami

• ${\displaystyle \tau _{1}\wedge \tau _{2}=\tau _{1}\cap \tau _{2},}$
• ${\displaystyle \tau _{1}\vee \tau _{2}=\bigcap \{\tau \in {\mathfrak {T}}\colon \tau _{1}\cup \tau _{2}\subseteq \tau \}}$

dla ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}\in {\mathfrak {T}}.}$

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 1. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990, s. 28–30. ISBN 3-540-64241-2.
• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.