Prędkość orbitalna

Ten artykuł wymaga uzupełnienia informacji. Artykuł należy uzupełnić o istotne informacje: rozbudować o przypadek elipsy. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Prędkość orbitalna – prędkość, z jaką porusza się ciało po orbicie.

Orbita kołowa

Na orbicie kołowej orbitujące ciało o masie niewielkiej w porównaniu z masą ciała centralnego porusza się po okręgu o środku w środku obieganego ciała. W ruchu tym siłą dośrodkową jest siła grawitacji, zatem:

${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {mv^{2}}{r}}}$

i dlatego

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r}}},}$

gdzie:

${\displaystyle G}$ – stała grawitacyjna,

${\displaystyle M}$ – masa ciała okrążanego, np. planety,

${\displaystyle m}$ – masa ciała krążącego, np. statku kosmicznego,

${\displaystyle r}$ – promień orbity,

${\displaystyle v}$ – prędkość orbitalna.

Inny sposób wyprowadzenia wzoru opisano poniżej:

Pewne ciało znajduje się na powierzchni pewnego ciała niebieskiego. Odległość od jego środka wynosi ${\displaystyle R.}$ Ciało to porusza się z pewną prędkością ${\displaystyle v,}$ w kierunku prostopadłym do prostej łączącej środki tych ciał. Po upływie niewielkiego czasu ${\displaystyle dt,}$ ciało przebywa niewielką drogę ${\displaystyle ds,}$ w wyniku czego wysokość ciała zmieni się o ${\displaystyle dh}$ od środka ciała niebieskiego, tak więc odległość od jego środka wynosi wówczas ${\displaystyle R+dh.}$ Punkty: początkowego położenia ciała, końcowego położenia ciała oraz środka ciała niebieskiego, są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla tych punktów:

${\displaystyle R^{2}+(ds)^{2}=(R+dh)^{2}.}$

Przebywając drogę ${\displaystyle ds,}$ ciało spada o ${\displaystyle dh.}$ Zadanie polega więc na wyznaczeniu prędkości ${\displaystyle v,}$ z jaką ciało ma się poruszać, co sprowadza się do wyznaczenia czasu jej przebycia. Czas ten musi być równy czasowi spadania z wysokości tak, aby po jego upływie ciało nadal znajdowało się w takiej samej odległości od ciała niebieskiego, dzięki czemu jego tor ruchu będzie okręgiem. Wysokość od ciała niebieskiego ${\displaystyle h,}$ na której znajduje się ciało, z której upada ono na powierzchnię po upływie czasu ${\displaystyle t,}$ dla zaniedbywalnie małych wysokości, wyraża się wzorem:

${\displaystyle h={\frac {1}{2}}at^{2},}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest przyspieszeniem grawitacyjnym występującym w miejscu gdzie znajduje się orbitujące ciało.

Wzór ten jest tym bardziej prawdziwy dla różniczek wysokości ${\displaystyle dh}$ i czasu ${\displaystyle dt,}$ gdyż różniczka wysokości dąży do 0, a więc ${\displaystyle dh\to 0,}$ jest więc zaniedbywalnie mała.

${\displaystyle dh={\frac {1}{2}}a(dt)^{2}.}$

Podstawiając za ${\displaystyle dh}$ powyższy wzór do otrzymanej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

${\displaystyle R^{2}+(ds)^{2}=\left(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2}\right)^{2}.}$

Od obu stron równania odejmujemy ${\displaystyle R^{2}}$

${\displaystyle (ds)^{2}=\left(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2}\right)^{2}-R^{2}.}$

W ruchu jednostajnym prędkość jest pochodną przebytej drogi po czasie:

${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}.}$

Obie strony równania podnosimy do kwadratu.

${\displaystyle v^{2}=\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\frac {(ds)^{2}}{(dt)^{2}}}.}$

Podstawiając za ${\displaystyle (ds)^{2}}$ powyższy wzór, otrzymujemy:

${\displaystyle {\begin{aligned}v^{2}&={\frac {\left(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2}\right)^{2}-R^{2}}{(dt)^{2}}}\\&={\frac {R^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{4}+aR(dt)^{2}-R^{2}}{(dt)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{4}+aR(dt)^{2}}{(dt)^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{2}+aR.\end{aligned}}}$

Ponieważ ${\displaystyle dt\to 0,}$ więc ${\displaystyle {\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{2}\to 0.}$ Ostatecznie otrzymujemy:

${\displaystyle v^{2}=aR.}$

Pierwiastkujemy obie strony równania:

${\displaystyle v={\sqrt {aR}}.}$

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego wyznaczyć można z zależności:

${\displaystyle a={\frac {GM}{R^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle G}$ – stała grawitacji,

${\displaystyle M}$ – masa ciała niebieskiego.

Podstawiając za ${\displaystyle a}$ powyższą zależność, otrzymujemy ostatecznie wzór na pierwszą prędkość kosmiczną:

${\displaystyle v={\sqrt {{\frac {GM}{R^{2}}}\cdot R}},}$

${\displaystyle v_{I}={\sqrt {\frac {GM}{R}}}.}$

Prędkość orbitalną na orbicie kołowej można też wyznaczyć, znając okres obiegu i promień orbity

${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{T}},}$

gdzie:

${\displaystyle T}$ – okres orbitalny.

Orbita eliptyczna

W przypadku orbity eliptycznej prędkość orbitalna ciała zmienia się wzdłuż orbity i jest największa w perycentrum, a najmniejsza w apocentrum orbity. Wartość tej prędkości w dowolnym punkcie orbity można wyznaczyć z drugiego prawa Keplera lub z zasady zachowania energii.