Przestrzeń Lindelöfa

Przestrzenie Lindelöfa – przestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie przeliczalne[1].

Istnieją pewne rozbieżności co do stosowania nazwy „przestrzeń Lindelöfa”: niektórzy autorzy (np. Engelking[1]) wymagają dodatkowo, by przestrzeń była ponadto regularna. Nazwa pojęcia została wprowadzona w 1929 roku przez Aleksandrowa i Urysohna[2] i pochodzi od nazwiska fińskiego matematyka, Ernsta Lindelöfa, który udowodnił w 1903 roku, że przestrzenie euklidesowe mają opisaną wyżej własność[3].

Przykłady

Własności

  • Każda przestrzeń zwarta jest przestrzenią Lindelöfa.
  • Dowolna przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest przestrzenią Lindelöfa, lecz nie na odwrót – przestrzeń Lindelöfa nie musi spełniać drugiego aksjomatu przeliczalności; na przykład wspomniana wyżej prosta z topologią strzałki nie ma bazy przeliczalnej.
  • Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa jest też przestrzenią Lindelöfa[1].
  • Suma rodziny niepustych przestrzeni topologicznych {Xs : s ∊ S} jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór S jest przeliczalny oraz każdy składnik Xs jest przestrzenią Lindelöfa[1].
  • W każde pokrycie otwarte regularnej przestrzeni Lindelöfa można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone.
  • Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna[1].
  • Produkt przestrzeni Lindelöfa niekoniecznie jest przestrzenią Lindelöfa. Przykładem może być iloczyn dwóch prostych z topologią strzałki, który nie jest przestrzenią normalną (mimo że jest przestrzenią regularną)[4]. Istnieją modele teorii mnogości Zermela-Fraenkla (bez aksjomatu wyboru), w których produkt dwóch dowolnych przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa[6].
  • Otwarta podprzestrzeń przestrzeni Lindelöfa nie musi być przestrzenią Lindelöfa: każda przestrzeń lokalnie zwarta (np. przestrzeń dyskretna) jest otwartą podprzestrzenią swojego uzwarcenia jednopunktowego (Aleksandrowa).
  • Ciągły obraz przestrzeni Lindelöfa jest przestrzenią Lindelöfa[5].
  • Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
  • Przestrzeń metryczna jest przestrzenią Lindelöfa wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności oraz wtedy i tylko wtedy, gdy jest ośrodkowa.

Przypisy

  1. ↑ a b c d e Engelking 1989 ↓, s. 224.
  2. ↑ P. Alexandroff, P. Urysohn, Mémoire sur les espaces topologiques compacts dédié à Monsieur D. Egoroff. Verhandelingen Amsterdam 14, Nr. 1, (1929), s. 93.
  3. ↑ E. Lindelöf, Sur quelques points de la théorie des ensembles. C.R. Acad. Paris 137 (1903), s. 697–700.
  4. ↑ a b Engelking 1989 ↓, s. 226.
  5. ↑ a b Engelking 1989 ↓, s. 225.
  6. ↑ Horst Herrlich, Products of Lindelöf T2-spaces are Lindelöf – in some models of ZF, „Comment. Math. Univ. Carolinae”, 2 (43), 2002, s. 319–333 [dostęp 2010-12-19] [zarchiwizowane z adresu 2017-01-18].

Bibliografia