Przestrzeń WCG

Przestrzeń WCG (ang. weakly compactly generated space; przestrzeń generowana przez zbiór słabo zwarty) – przestrzeń Banacha zawierająca słabo zwarty podzbiór o tej własności, że podprzestrzeń liniowa generowana przez ten zbiór jest gęsta w (innymi słowy jest słabo zwarty i liniowo gęsty), tj.

[1].

Pojęcie przestrzeni WCG, wprowadzone w 1968 roku przez D. Amira i J. Lindenstraussa[2], uogólnia jednocześnie pojęcia ośrodkowej przestrzeni Banacha oraz przestrzeni refleksywnej.

Przykłady

  • Gdy jest ośrodkową przestrzenią Banacha oraz jest gęstym podzbiorem jej kuli jednostkowej, to
jest słabo zwarty oraz liniowo gęsty w (tj. generuje )[3].
  • W przypadku, gdy jest refleksywna, domknięta kula jednostkowa przestrzeni jest słabo zwarta[3]. Ponieważ każda przestrzeń refleksywna jest WCG.
  • Dla dowolnej przestrzeni z miarą σ-skończoną przestrzeń L1 (μ) jest WCG. Istotnie, niech będzie rozbiciem na parami rozłączne zbiory -mierzalne dla których dla każdego Niech będzie funkcją daną wzorem gdy dla pewnego Funkcja jest -mierzalna oraz Miara jest miarą probabilistyczną oraz przestrzenie Banacha i liniowo izometryczne poprzez odwzorowanie dane wzorem
Wystarczy zatem pokazać, że przestrzeń jest WCG. Ponieważ miara jest skończona, z nierówności Höldera wynika istnienie inkluzji przestrzeni Hilberta w W szczególności, operator inkluzji jest różnowartościowy i ma gęsty obraz. Ponieważ kula przestrzeni jest słabo zwarta, operator jest ograniczony (a więc jest również ciągły jako operator między przestrzeniami a wyposażonymi w słabe topologie), obraz kuli poprzez jest słabo zwarty w i liniowo gęsty, a więc jest WCG.
  • Dla dowolnego zbioru przestrzeń c0 (Γ) z normą supremum jest WCG. Ponadto, każda jej domknięta podprzestrzeń jest również WCG[4].
  • Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej Hausdorffa jest WCG wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią Eberleina.
  • Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Johnsona-Lindenstraussa jest izomorficzna z która jest WCG jako suma przestrzeni ośrodkowej i refleksywnej, podczas gdy sama przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa nie jest WCG.

Własności

  • Jeżeli jest WCG, to domknięta kula jednostkowa jej przestrzeni sprzężonej z *-słabą topologią jest przestrzenią Eberleina.
  • Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej do podprzestrzeni przestrzeni WCG jest ciągowo zwarta w *-słabej topologii[5].
  • Przestrzeń WCG ze słabą topologią jest przestrzenią Lindelöfa[6].
  • Przeliczalne -sumy oraz dowolne -sumy i dowolne -sumy rodzin przestrzeni typu WCG są WCG.
Dowód. Niech będzie rodziną przestrzeni typu WCG oraz niech będzie zbiorem słabo zwartym generującym Bez straty ogólności można założyć, że dla każdego zbiór jest zbalansowany, tj. gdy W przypadku, gdy to zbiór
jest słabo zwarty oraz generuje sumę Ponieważ formalna identyczność id: jest ciągła oraz ma gęsty obraz, przestrzeń jest również WCG, gdy każdy składnik jest WCG. Gdy jest ciągiem przestrzeni typu WCG (przestrzeń generowana jest przez zbiór słabo zwarty ), to zbiór
jest słabo zwarty oraz generuje

Problem dziedziczności własności WCG na podprzestrzenie

Domknięta podprzestrzeń przestrzeni WCG nie musi być przestrzenią WCG[7] nawet w przypadku, gdy ma bezwarunkową bazę Schaudera bądź druga przestrzeń sprzężona jest WCG[8]. Jeżeli jednak zarówno przestrzenie i są WCG, to jest również WCG[9].

Algebry Banacha a własność WCG

W przypadku gdy jest C*-algebrą, następujące własności są równoważne:

  1. jest WCG,
  2. jest ośrodkowa oraz ma własność Radona-Nikodýma,
  3. jest ośrodkowa.

Gdy jest lokalnie zwarta przestrzenią Hausdorffa, to następujące warunki są równoważne:

  1. algebra Fouriera jest WCG,
  2. przestrzeń jest WCG,
  3. spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności[10].

Przypisy

  1. Megginson 1998 ↓, s. 254.
  2. D. Amir, J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets in Banach spaces, Ann. of Math., 88 (1968), 35–46.
  3. a b Megginson 1998 ↓, s. 255.
  4. K. John, V. Zizler, Smoothness and its equivalents in weakly compactly generated Banach spaces, J. Funct. Anal., 15 (1974), 1-11.
  5. Morrison 2001 ↓, s. 216.
  6. M. Talagrand, Sur une conjecture de H.H. Corson, Bull. Sci. Math., 99 (1975), 211–212.
  7. H.P. Rosenthal, The heredity problem for weakly compactly generated Banach spaces, Compositio Math., 28 (1974), 83–111.
  8. S.A. Argyros, S. Mercourakis, Examples concerning Heredity Problems of WCG Banach Spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 133, No. 3 (Mar., 2005), 773–785.
  9. John i Zizler 1974 ↓, s. 10.
  10. E. Kaniuth, A.T. Lau and G. Sschlichting, Weakly compactly generated Banach algebras associated to locally compact groups J. Operator Theory 40 (1998), 323–337.

Bibliografia

  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.