Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna (trójka probabilistyczna) – struktura umożliwiająca opis procesu losowego (tj. procesu, którego wynik jest losowy) poprzez określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i określenie na jej podzbiorach funkcji prawdopodobieństwa^[1] spełniającej odpowiednie aksjomaty.

Powszechnie dziś przyjmowana aksjomatyka prawdopodobieństwa (zwana aksjomatami Kołmogorowa) została podana w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa i pozwoliła ująć teorię prawdopodobieństwa w postaci nowoczesnej teorii aksjomatycznej.

Definicje

Konstrukcja przestrzeni probabilistycznej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ przebiega w trzech etapach:

1. ustalenie niepustego zbioru ${\displaystyle \Omega ,}$ zwanego przestrzenią zdarzeń elementarnych,
2. określenie na nim σ-ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ zwanego przestrzenią zdarzeń losowych,
3. określenie na ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ unormowanej miary ${\displaystyle P}$ – miary probabilistycznej (prawdopodobieństwa).

Definicja prawdopodobieństwa

Niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ będzie σ-ciałem określonym na danym zbiorze ${\displaystyle \Omega .}$ Elementy σ-ciała nazywa się zdarzeniami losowymi.

Funkcję ${\displaystyle P\colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R} }$ o wartościach rzeczywistych nazywa się miarą probabilistyczną (prawdopodobieństwem), jeżeli spełnione są warunki:

• nieujemności (tj. prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne):

  ${\displaystyle P(A)\geqslant 0}$ dla dowolnego zdarzenia ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}};}$

• unormowania do jedności (tj. prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1):

  ${\displaystyle P(\Omega )=1\qquad (\Omega \in {\mathcal {F}});}$

• przeliczalnej addytywności (dla przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozłącznych):

  ${\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),}$

przy czym ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing ,}$ gdy ${\displaystyle i\neq j.}$

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja ${\displaystyle P}$ jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną.

Definicja przestrzeni probabilistycznej

Układ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa

Niech ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A,B,A^{c}\in {\mathcal {F}}.}$

Wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają następujące własności:

• prawdopodobieństwo jest miarą skończoną, tj. prawdopodobieństwa są określone liczbami skończonymi,
• prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerowe:

  ${\displaystyle P(\varnothing )=0\quad (\varnothing \in {\mathcal {F}}),}$

• skończona addytywność (dla skończonej rodziny zbiorów rozłącznych):

  ${\displaystyle P\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\sum _{i\in I}P(A_{i}),}$ ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$ dla ${\displaystyle i\neq j,}$ przy czym sumowanie dotyczy skończonej liczby zbiorów,

• prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

  ${\displaystyle P(A^{\mathrm {c} })=1-P(A),}$ przy czym ${\displaystyle A^{\mathrm {c} }}$ jest zdarzeniem przeciwnym do ${\displaystyle A,}$

• ograniczenie górne prawdopodobieństwa:

  ${\displaystyle P(A)\leqslant 1,}$

• monotoniczność:

  ${\displaystyle P(A)\leqslant P(B)}$ dla ${\displaystyle A\subseteq B,}$

• prawdopodobieństwo alternatywy dwóch zdarzeń (zob. zasada włączeń i wyłączeń):

  ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$

Definicje prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna (dla zbiorów skończonych)

${\displaystyle \Omega }$ jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru ${\displaystyle \Omega ,}$ a prawdopodobieństwo ${\displaystyle P}$ dane jest wzorem

${\displaystyle P(A)={\frac {\#A}{\#\Omega }}}$ dla każdego zbioru ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$

gdzie ${\displaystyle \#C}$ oznacza liczbę elementów zbioru ${\displaystyle C.}$ Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo na tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa^[a].

Definicja geometryczna (dla zbiorów nieskończonych)

Niech dany będzie zbiór ${\displaystyle \Omega }$ oraz zadana będzie miara ${\displaystyle \mu }$ na tym zbiorze tak, że miara zbioru ${\displaystyle \Omega }$ jest skończona.

Wtedy zbiór ${\displaystyle \Omega }$ może pełnić rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych, zaś określone na tym zbiorze σ-ciało ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ podzbiorów mierzalnych stanowi zbiór możliwych zdarzeń elementarnych.

Definicja: Prawdopodobieństwem zdarzenia ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ jest iloraz miary ${\displaystyle \mu (A)}$ podzbioru ${\displaystyle A}$ przez miarę ${\displaystyle \mu (\Omega )}$ przestrzeni ${\displaystyle \Omega ,}$ tj.

${\displaystyle P(A)={\frac {\mu (A)}{\mu (\Omega )}}}$ dla każdego zbioru ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$

Np.

• ${\displaystyle \Omega }$ jest przedziałem jednostkowym

  ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest σ-ciałem podzbiorów przedziału ${\displaystyle [0,1],}$ które są mierzalne w sensie Lebesgue’a, tj.

  ${\displaystyle {\mathcal {F}}\equiv {\mathfrak {L}}_{[0,1]},}$

• ${\displaystyle P}$ jest miarą Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda }$ określoną na ${\displaystyle P,}$ tj.

  ${\displaystyle P\equiv \lambda ,}$

Mówimy wtedy, że przestrzeń probabilistyczna ${\displaystyle ([0,1],{\mathfrak {L}}_{[0,1]},\lambda )}$ realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa.

Przykłady innych miar prawdopodobieństwa

1) Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), zaś ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ niech będzie zmienną losową. Jeżeli ${\displaystyle P_{X}}$ jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową) ${\displaystyle X,}$ tj.

${\displaystyle P_{X}(A)=P{\big (}X^{-1}(A){\big )}\ {\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{\ }}{=}}\ P(X\in A)}$ dla dowolnego ${\displaystyle A\in {\mathfrak {B}}_{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\mathbb {R} }}$ oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

to ${\displaystyle P_{X}}$ jest miarą probabilistyczną, wobec czego ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}}_{\mathbb {R} },P_{X})}$ również jest przestrzenią probabilistyczną.

2) Do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz też

• definicje prawdopodobieństwa
• przestrzeń statystyczna

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.