Punkty Brocarda

Punkt Brocarda trójkąta skonstruowany w punkcie przecięcia trzech okręgów

Punkty Brocarda – szczególne punkty w trójkącie.

Francuski matematyk Henri Brocard (1845–1922), sformułował następujące zdanie[1]:

W trójkącie o bokach znajduje się dokładnie jeden taki punkt że proste z bokami odpowiednio tworzą równe kąty tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości[1]:

Punkt nazywa się pierwszym punktem Brocarda trójkąta Kąt jest kątem Brocarda trójkąta

Istnieje także drugi punkt Brocarda trójkąta punkt dla którego odcinki według tej kolejności, z bokami tworzą równe kąty, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:

Temu drugiemu punktowi Brocarda odpowiada ten sam kąt Brocarda, co pierwszemu punktowi Brocarda, tzn. kąt jest równy kątowi

Te dwa punkty Brocarda są ze sobą ściśle związane; w gruncie rzeczy odróżnienie pierwszego kąta od drugiego zależy od tego, w jakiej kolejności weźmiemy kąty trójkąta ! W ten sposób dla przykładu: pierwszy punkt Brocarda trójkąta jest równocześnie drugim punktem Brocarda w trójkącie

Konstrukcja

Przykład:

  1. Obieramy trzy niewspółliniowe punkty
  2. Kreślimy prostą przez punkty i prostą, a przez punkty i oraz prostą przez punkty i
  3. Kreślimy symetralną boku i oznaczamy ją przez
  4. Kreślimy prostą prostopadłą do prostej, a przez punkt
  5. Punkt przecięcia się symetralnej i prostej oznaczamy
  6. Z punktu kreślimy okrąg o promieniu Wówczas okrąg ten przechodzi także przez punkt i jest styczny do prostej
  7. Analogicznie konstruujemy okrąg przez punkty i styczny do prostej

a następnie okrąg przez punkty i styczny do prostej

Te trzy okręgi posiadają wspólny punkt – pierwszy punkt Brocarda trójkąta

Analogicznie konstruuje się drugi punkt Brocarda.

Równania kąta Brocarda

Oznaczmy przez pole powierzchni trójkąta Wówczas kąt Brocarda można obliczyć następującymi równaniami:

Dla każdego trójkąta:

Właściwości

  • Oba punkty Brocarda trójkąta są ze sobą sprzężone izogonalnie.
  • Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.

Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.

Przypisy

  1. a b S. I. Zetel: Geometria trójkąta. PWSZ, 1964, s. 123.

Media użyte na tej stronie