Quasi-grupa współrzędnych sieci

Quasi-grupa ${\displaystyle Q}$ jest quasi-grupą współrzędnych sieci ${\displaystyle {\mathcal {S}}=(P,L^{1},L^{2},L^{3}),}$ jeśli:

• zbiór ${\displaystyle Q}$ jest równoliczny z każdym ze zbiorów ${\displaystyle L^{1},}$ ${\displaystyle L^{2}}$ i ${\displaystyle L^{3},}$
• ustalone są trzy funkcje różnowartościowe ${\displaystyle l^{i}:Q\to L^{i},}$ ${\displaystyle l^{i}(Q)=L^{i};}$ zapisuje się je jako indeksacje ${\displaystyle l^{i}(q)=l_{q}^{i}=}$ dla ${\displaystyle q\in G,}$
• ${\displaystyle ab=c}$ wtedy i tylko wtedy, gdy przez punkt przecięcia krzywych ${\displaystyle l_{a}^{1}\in L^{1},l_{b}^{2}\in L^{2}}$ przechodzi krzywa ${\displaystyle l_{c}^{3}\in L^{3}}$^[1].

Krzywą ${\displaystyle l_{q}^{i}}$ oznacza się także za pomocą pary uporządkowanej ${\displaystyle (i,q)}$^[2].

Konstrukcja sieci dla danej quasi-grupy

Dla danej quasi-grupy ${\displaystyle Q}$ punkty zbioru ${\displaystyle P}$ można utożsamić ze zbiorem par uporządkowanych ${\displaystyle (a,b):a,b\in Q,}$ a krzywe ${\displaystyle L^{i}}$ ze zbiorami ${\displaystyle L^{i}=\{(i,a):a\in Q}$ dla ${\displaystyle i=1,2,3.}$ Incydencję definiuje się wtedy następująco: punkt ${\displaystyle (a,b)}$ jest incydentny z krzywymi (liniami): ${\displaystyle (1,a),}$ ${\displaystyle (2,b)}$ i ${\displaystyle (3,ab).}$ Quasi-grupa ${\displaystyle Q}$ jest wtedy quasi-grupą współrzędnych sieci ${\displaystyle {\mathcal {S}}=(P,L^{1},L^{2},L^{3})}$^[3].

Własności

• Quasi-grupa współrzędnych sieci ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ zależy od wybranych indeksacji prostych każdej rodziny. Jeśli zmieni się indeksację (stosując dla każdej rodziny permutację zbioru ${\displaystyle Q}$), to w wyniku uzyska się różne quasi-grupy^[4].
• Przy odpowiedniej zmianie indeksacji krzywych sieci jej quasi-grupa współrzędnych jest pętlą.
• Dwie quasi-grupy współrzędnych tej samej sieci są izotopijne^[5].
• Wszystkie quasi-grupy współrzędnych danej sieci o quasi-grupie ${\displaystyle G}$ są z dokładnością do izomorfizmu klasą wszystkich izotopijnych quasi-grup określonych na zbiorze ${\displaystyle G}$^[5].

Przypisy

Bibliografia

• Aleksander Gienadiewicz Kurosz: Algebra ogólna. Wykłady z lat 1969–1970. Moskwa: Nauka, 1974. (ros.)
• Walentin Daniłowicz Biełousow: Podstawy teorii quasi-grup i pętli. Moskwa: Nauka, 1967. (ros.)