Równoważność (teoria miary)

Równoważność – pojęcie oddające ideę „bycia takimi samymi” dwóch miar.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$ będzie przestrzenią mierzalną, zaś ${\displaystyle \mu ,\nu \colon {\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} }$ będą dwiema miarami ze znakiem. Miara ${\displaystyle \mu }$ jest równoważna mierze ${\displaystyle \nu }$ wtedy i tylko wtedy, gdy jedna jest bezwzględnie ciągła względem drugiej; symbolicznie:

${\displaystyle \mu \sim \nu \iff \mu \ll \nu \ll \mu .}$

Równoważność miar jest relacją równoważności na zbiorze wszystkich miar ${\displaystyle {\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} .}$

Przykłady

Na prostej rzeczywistej miara Gaussa i miara Lebesgue'a są równoważne, lecz nie są one równoważne z miarą Diraca.

Bibliografia

• Paul R. Halmos: Measure Theory. Springer, 1974, s. 126. ISBN 0-387-90088-8.