Rachunek różnicowy

Rachunek różnicowy – dział matematyki badający funkcje za pomocą wyrażeń zwanych różnicami skończonymi^[1]. Jest blisko związany z rachunkiem różniczkowym i pozwala na analogiczne metody w matematyce dyskretnej. Zajmuje się między innymi równaniami różnicowymi i jest podstawą wielu metod numerycznych.

W przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ pochodną definiuje się jako ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}.}$ W matematyce dyskretnej jednak operujemy na funkcjach ${\displaystyle F\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} .}$ Dla takich funkcji czymś zupełnie analogicznym jest operator różnicowy – ${\displaystyle \Delta }$ z tym, że w przypadku funkcji ${\displaystyle F\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ do wartości ${\displaystyle f(a)}$ możemy się zbliżyć najbliżej tylko jako ${\displaystyle f(a+1).}$ Dlatego ${\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x).}$

Niektóre analogie między rachunkiem różnicowym a rachunkiem różniczkowym

W rachunku różnicowym odpowiednikiem funkcji potęgowej o wykładniku całkowitym jest tzw. potęga krocząca ubywająca ${\displaystyle x^{\underline {m}}}$ lub przyrastająca ${\displaystyle x^{\overline {m}}.}$ Działanie operatora ${\displaystyle \Delta }$ na funkcję ${\displaystyle x^{\underline {m}}}$ daje w wyniku:

${\displaystyle \Delta (x^{\underline {m}})=(x+1)^{\underline {m}}-x^{\underline {m}}=mx^{\underline {m-1}}.}$

Jest to wzór analogiczny do ${\displaystyle D(x^{m})=mx^{m-1}.}$

Operator ${\displaystyle \Delta ,}$ podobnie jak operator ${\displaystyle D}$ jest przekształceniem liniowym:

${\displaystyle \Delta (f+g)=\Delta (f)+\Delta (g),}$

${\displaystyle \Delta (cf)=c\Delta (f).}$

Istnieje operacja odwrotna do różnicowania – jest to sumowanie, dyskretna analogia całki. Występuje ona również w wersji nieoznaczonej i oznaczonej. W szczególności

${\displaystyle \sum x^{\underline {m}}\delta x={\begin{cases}{\frac {x^{\underline {m+1}}}{m+1}}\quad m\neq -1\\H_{x}\quad m=-1\end{cases}},}$

co przypomina wzór na całkę ${\displaystyle \int x^{m}dx.}$

Przekształcenie Abela jest dyskretnym odpowiednikiem całkowania przez części.

Przypisy

Bibliografia

• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14764-4.