Rodzina lokalnie skończona

Rodzina lokalnie skończona jest pojęciem topologii ogólnej, charakteryzującym rodziny zbiorów przestrzeni topologicznej. Szczególnym przypadkiem rodziny skończonej jest rodzina dyskretna. Uwaga: rodzina dyskretna jest pojęciem różnym od pojęcia zbioru dyskretnego.

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną. Mówimy, że rodzina ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A_{t})_{t\in T}}$ podzbiorów przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ jest lokalnie skończona, gdy dla każdego punktu ${\displaystyle x\in X}$ istnieje otoczenie ${\displaystyle U,}$ które przecina co najwyżej skończoną liczbę zbiorów z rodziny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (tzn. takie, że zbiór ${\displaystyle \{t\in T\colon A_{t}\cap U\neq \varnothing \}}$ jest skończony). Jeżeli każdy punkt ${\displaystyle x\in X}$ ma otoczenie przecinające co najwyżej jeden element rozważanej rodziny, to rodzinę tę nazywamy dyskretną.

Rodzinę zbiorów nazywamy σ-lokalnie skończoną (σ-dyskretną) jeśli jest przeliczalną sumą rodzin lokalnie skończonych (dyskretnych).

Własności

• Każda rodzina dyskretna bądź skończona jest lokalnie skończona.
• Dla każdej rodziny lokalnie skończonej ${\displaystyle (A_{t})_{t\in T}}$ spełniona jest równość

${\displaystyle \operatorname {cl} \bigcup _{t\in T}A_{t}=\bigcup _{t\in T}\operatorname {cl} A_{t},}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ jest operacją domknięcia.

• Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest rodziną lokalnie skończoną i wszystkie zbiory z tej rodziny są domknięte (domknięto-otwarte), to ${\displaystyle F=\bigcup {\mathcal {F}}}$ jest zbiorem domkniętym (domknięto-otwartym).
• Jeśli ${\displaystyle (A_{t})_{t\in T}}$ jest rodziną lokalnie skończoną (dyskretną), to rodzina ${\displaystyle (\operatorname {cl} A_{t})_{t\in T}}$ jest również rodziną lokalnie skończoną (dyskretną)^[1].

Zobacz też

• pokrycie zbioru
• rodzina punktowo skończona

Przypisy