Rozkład Cauchy’ego

Rozkład Cauchy’ego-Lorentza
Gęstość prawdopodobieństwa Zielona linia opisuje standardowy rozkład Cauchy’ego
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	${\displaystyle x_{0}}$ – położenie (liczba rzeczywista) ${\displaystyle \gamma >0}$ – skala (liczba rzeczywista)
Nośnik	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\operatorname {arctg} \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	nieokreślona
Mediana	${\displaystyle x_{0}}$
Moda	${\displaystyle x_{0}}$
Wariancja	nieokreślona
Współczynnik skośności	nieokreślona
Kurtoza	nieokreślona
Entropia	${\displaystyle \ln \ 4\pi \gamma }$
Funkcja tworząca momenty	nieokreślona
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle e^{x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|}}$
Odkrywca	Augustin Louis Cauchy

Rozkład Cauchy’ego (zwany również w optyce rozkładem Lorentza, a w fizyce jądrowej rozkładem Breita-Wignera) to rozkład prawdopodobieństwa typu ciągłego.

• Momenty zwykłe i centralne (czyli m.in. wartość oczekiwana i wariancja) rozkładu są niezdefiniowane – odpowiednie całki rozbiegają się do nieskończoności. Oznacza to też m.in., że nie można zdefiniować kurtozy i skośności.
• Jeśli niezależne zmienne losowe X i Y mają standardowy rozkład normalny, to zmienna X/Y ma rozkład Cauchy’ego z parametrami x₀ = 0 i γ = 1

Zobacz też

• rozkład zmiennej losowej
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki