Rozkład Panjera

Rozkład Panjera (rozkład z klasy rozkładów Panjera) – dyskretny rozkład stosowany w matematyce ubezpieczeniowej do opisu liczby szkód w modelu ryzyka łącznego.

Definicja

Rozkłady Panjera określone są wzorem rekurencyjnym:

${\displaystyle p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},\quad k\geqslant 1.}$

gdzie ${\displaystyle p_{k}=P(X=k).}$

Wartość ${\displaystyle p_{0}}$ wynika z zależności.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.}$

Opis klasy rozkładów Panjera

Rozkłady Panjera to rozkłady spełniających założenia wzoru Panjera w jego podstawowej formie (tzn. przy ${\displaystyle m=0}$).

Rozkładami należącymi do klasy rozkładów Panjera są (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$):

• rozkład Poissona (gdy ${\displaystyle a=0,}$ ${\displaystyle b>0}$),
• rozkład dwumianowy (gdy ${\displaystyle a<0,}$ ${\displaystyle b=-a(l+1),}$ ${\displaystyle l=1,2,3,\ldots }$),
• rozkład ujemny dwumianowy (gdy ${\displaystyle a\in (0,1),}$ ${\displaystyle b>-a}$),
• rozkład zdegenerowany ${\displaystyle p_{0}=1}$ (gdy ${\displaystyle b=-a}$).

Można wykazać^[1], że nie istnieją rozkłady spełniające założenia wzoru Panjera dla których:

• ${\displaystyle b<-a,}$
• ${\displaystyle a\geqslant 1,}$ ${\displaystyle b>-a,}$
• ${\displaystyle a<0,}$ ${\displaystyle b>-1.}$

Zachodzi ponadto:

${\displaystyle {\frac {Var(X)}{E(X)}}={\frac {1}{1-a}}}$

oraz

${\displaystyle Var(X)>E(X)\iff a>0,}$

${\displaystyle Var(X)=E(X)\iff a=0,}$

${\displaystyle Var(X)<E(X)\iff a<0.}$

Uogólnienia

W 1981 roku Bjørn Sundt i William S. Jewell uogólnili wzór Panjera wprowadzając parametr ${\displaystyle m}$ określający wyraz ciągu ${\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ począwszy od którego wszystkie kolejne wyrazy spełniają założenia wzoru Panjera. Wcześniejsze wyrazy są dowolne^[1]. Powstała tym samym szersza klasa rozkładów nazywaną klasą Sundta-Jewella^[2].

Przypisy

Bibliografia

• Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe. Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4. (pol.)