Rozkład geometryczny

Rozkład geometryczny
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	${\displaystyle 0<p\leqslant 1}$ prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)
Nośnik	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}}$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	${\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p}$
Dystrybuanta	${\displaystyle 1-(1-p)^{k}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$
Mediana	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-\log(2)}{\log(1-p)}}\right\rceil }$ niejednoznaczna gdy ${\displaystyle -\log(2)/\log(1-p)\in \mathbb {Z} }$
Moda	${\displaystyle 1}$
Wariancja	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}}$
Kurtoza	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}}$
Entropia	${\displaystyle -{\frac {1-p}{p}}\log _{2}(1-p)-\log _{2}p}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}}$
Odkrywca	William Feller (1950)

Rozkład geometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w ${\displaystyle k}$-tej próbie. ${\displaystyle k}$ musi być liczbą naturalną dodatnią. Rozkład ten oznacza się zwykle symbolem Geo(p).

Zmienna losowa X ma więc rozkład Geo(p) jeśli

${\displaystyle P(X=k)=(1-p)^{k-1}p}$

Zauważmy, że jeśli X ma rozkład Geo(p), to ${\displaystyle P(X>k)=(1-p)^{k}.}$ Zatem jej dystrybuanta jest zadana wzorem ${\displaystyle F_{X}(k)=P(X\leqslant k)=1-(1-p)^{k}}$ dla liczb naturalnych k.

Uwaga: Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces, badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane ${\displaystyle k}$ jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego 1.

Rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla ${\displaystyle r=1.}$

Ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład wykładniczy.

Momenty

Funkcja tworząca prawdopodobieństwo zmiennej losowej X o rozkładzie Geo(p) jest zadana wzorem

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }t^{k}(1-p)^{k-1}p={\frac {pt}{1-(1-p)t}}}$

Z tego otrzymujemy

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=f'(1)={\frac {p}{(1-(1-p)t)^{2}}}|_{t=1}={\frac {1}{p}}}$

oraz

${\displaystyle \mathrm {E} (X(X-1))=f''(1)={\frac {2(1-p)}{p^{2}}}}$

z czego otrzymujemy

${\displaystyle \mathrm {var} (X)=f''(1)+f'(1)-(f'(1))^{2}={\frac {2(1-p)}{p^{2}}}+{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}$

Wyższe momenty główne ${\displaystyle m_{k}}$ rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

${\displaystyle m_{k+1}=(1-p)\left(\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{1-p}}\right)m_{k}-{\frac {dm_{k}}{dp}}\right)}$

Momenty centalne ${\displaystyle \mu _{a}}$ rozkładów Geo(p) mogą być wyznaczone za pomocą funkcji generującej momenty centralne. Spełniają one następującą zależność rekurencyjną:

${\displaystyle \mu _{a+1}=(1-p)\left({\frac {a}{p^{2}}}\mu _{a-1}-{\frac {d\mu _{a}}{dp}}\right)}$

Inne własności

Rozkład geometryczny jest bezpamięciowym: jeśli ${\displaystyle X}$ ma rozkład Geo(p) i ${\displaystyle k,l}$ są liczbami naturalnymi, to

${\displaystyle P(X>k+l|X>k)={\frac {P(X>k+l,X>k)}{P(X>k)}}={\frac {P(X>k+l)}{P(X>k)}}=}$

${\displaystyle {\frac {(1-p)^{k+l}}{(1-p)^{k}}}=(1-p)^{l}=P(X>l).}$

Związki z innymi rozkładami

1. Jeśli ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{r}}$ są niezależne i mają rozkład Geo(p), to ich suma ${\displaystyle X_{1}+\ldots +X_{r}}$ ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p)
2. Jeśli ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{r}}$ są niezależne i mają rozkład Geo(p) to zmienna losowa ${\displaystyle Y=\min(X_{1},\dots ,X_{r})}$ ma rozkład geometryczny z parametrem ${\displaystyle 1-(1-p)^{r}}$

Zobacz też

• rozkład hipergeometryczny