Rozmaitość gładka

Rozmaitość gładka (o wymiarze ) – podzbiór o tej własności, że każdy punkt ma otoczenie które jest dyfeomorficzne z otwartym podzbiorem [1]. Na ogół w literaturze przez rozmaitość gładką rozumie się rozmaitość różniczkowalną klasy [2][3]. Wtedy przez dyfeomorfizm rozumie się dyfeomorfizm klasy Czasami autorzy zakładają, że klasa gładkości jest taka, jaka jest potrzebna do przeprowadzenia rozumowań, tzn. zawsze co najmniej ale jeśli to jest potrzebne (przy badaniu punktów krytycznych), to co najmniej itd.[4]

Pojęcie rozmaitości gładkiej

Powyższa definicja dotyczy tak zwanej rozmaitości bez brzegu lub inaczej rozmaitości zamkniętej. W topologii rozpatruje się także rozmaitości z brzegiem, której niektóre punkty są dyfeomorficzne z półprzestrzeniami przestrzeni

Twierdzenie o funkcji uwikłanej jako źródło przykładów rozmaitości gładkich

Twierdzenie o funkcji uwikłanej jest źródłem wielu przykładów rozmaitości gładkich. Niech w przestrzeni będzie dany zbiór punktów których współrzędne spełniają układ równań

Wtedy jeśli rząd macierzy Jacobiego

tego układu jest wszędzie na zbiorze równy to zbiór ten jest rozmaitością gładką wymiaru [5].

Przykłady rozmaitości gładkich

Torus deformujący się do sfery dwuwymiarowej.
  • Sfera -wymiarowa w przestrzeni jest rozmaitością gładką.
  • Torus jest 2-wymiarową rozmaitością gładką.
  • Przestrzeń rzutowa jest -wymiarową rozmaitością gładką.

Przypisy

  1. John Milnor: Topologia z różniczkowego punktu widzenia. PWN, 1969, s. 11.
  2. Milnor, op. cit., s. 11.
  3. Andrew H. Wallace: Wstęp do topologii różniczkowej. PWN, 1979, s. 137.
  4. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко: Современная Геометрия. Методы и приложения. Москва: Наука, 1986, s. 412.
  5. В.В. Трофимов: Введение в геометрию многообразий с симметриями. Москва: Наука, 1989, s. 9.

Media użyte na tej stronie

Sphere-like degenerate torus.gif
A torus is a surface obtained by revolving a circle about a coplanar axis in three dimensional space. As the distance from the circle's center to the axis of revolution approaches zero, the torus will resemble a sphere.