Torus (matematyka)

Torus z pokazanym najprostszym podziałem, pozwalającym obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu W= 1, K = 2, S = 1)

Torusdwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w płaszczyźnie tego okręgu i nieprzecinającej go[1][2]. Często oznacza się go symbolem lub

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

Parametryzacje

Niech okrąg definiujący torus ma promień obrotu pokrywa się z osią układu współrzędnych kartezjańskich a jej odległość od środka okręgu wynosi oraz niech środek okręgu leży w płaszczyźnie

Wówczas równanie torusa przyjmuje postać:

Pole powierzchni torusa jest równe[1]:

z kolei objętość torusa (dokładniej: część przestrzeni ograniczonej torusem) jest równa[1]:

Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie o środku w punkcie i promieniu gdzie Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:

Obróćmy ten okrąg o kąt wokół osi W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

Zatem:

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

Krzywizna Gaussa

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym w punkcie można wyznaczyć ze wzoru:

Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:

Stąd:

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:

Zauważmy, że:

  • dla mamy czyli na zewnętrznej stronie torusa;
  • dla mamy czyli na górze i dole torusa;
  • dla mamy czyli po wewnętrznej stronie torusa;
  • gdy wówczas przyjmuje maksimum, tj. na największym okręgu (równoleżniku);
  • gdy wówczas przyjmuje minimum, tj. na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

Uogólnienie

Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową gdzie jest relacją równoważności określoną następująco:

Wynika stąd istnienie odwzorowania które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

Zobacz też

Przypisy

  1. a b c Encyklopedia szkolna, s. 285.
  2. torus, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-10-12].

Bibliografia

  • Torus, [w:] Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 285-286, ISBN 83-02-02551-8.

Linki zewnętrzne

  • Eric W. Weisstein, Torus, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).

Media użyte na tej stronie

Torus cycles.png
Autor: unknown, Licencja: CC-BY-SA-3.0