Trójkąt potrójnie asymptotyczny

Trójkąt potrójnie asymptotyczny – figura utworzona z trzech prostych, z których każde dwie są równoległe do siebie w pewnym kierunku^[1].

Konstrukcja trójkąta potrójnie asymptotycznego

Można udowodnić, że:

Każda para promieni nierównoległych ma jedną wspólną prostą równoległą^[2][3].

Wykorzystując to twierdzenie, można skonstruować trójkąt potrójnie asymptotyczny na co najmniej dwa sposoby.

Sposób 1

Niech ${\displaystyle AB}$ i ${\displaystyle CD}$ będą promieniami równoległymi o początkach odpowiednio ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle C.}$ Wtedy promienie uzupełniające ${\displaystyle A/B}$ i ${\displaystyle C/D}$^[4] są nierównoległe, bo odległość między ich punktami rośnie. Dlatego istnieje prosta ${\displaystyle p}$ równoległa zarówno do ${\displaystyle A/B,}$ jak i do ${\displaystyle C/D.}$ Dlatego proste ${\displaystyle AB,}$ ${\displaystyle CD}$ i ${\displaystyle p}$ są parami równoległe, czyli tworzą trójkąt potrójnie asymptotyczny.

Konstrukcja Gaussa trójkąta potrójnie asymptotycznego

Sposób 2 (Gaussa)^[5]

Niech ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C}$ będą trzema punktami płaszczyzny hiperbolicznej. Wtedy ${\displaystyle ABC}$ jest trójkątem (skończonym). Promienie ${\displaystyle A/B,}$ ${\displaystyle C/A}$ i ${\displaystyle B/C}$ są parami nierównoległe, bo proste ${\displaystyle AB,}$ ${\displaystyle CA}$ i ${\displaystyle BC}$ są nierównoległe. Jeśli:

• prosta ${\displaystyle p}$ jest wspólną prostą równoległą do promieni ${\displaystyle A/B}$ i ${\displaystyle C/A,}$
• prosta ${\displaystyle q}$ jest wspólną prostą równoległą do promieni ${\displaystyle C/A}$ i ${\displaystyle B/C,}$
• prosta ${\displaystyle r}$ jest wspólną prostą równoległą do promieni ${\displaystyle B/C}$ i ${\displaystyle A/B,}$

to proste ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle q}$ i ${\displaystyle r}$ tworzą trójkąt potrójnie asymptotyczny.

Własności

• Każde dwa trójkąty potrójnie asymptotyczne są przystające.
• Każdy trójkąt potrójnie asymptotyczny ma pole skończone^[6].
• Z twierdzenia Bolyai wynika, że wszystkie kąty trójkąta potrójnie asymptotycznego są kątami zerowymi.
• Z twierdzenia Gaussa wynika, że pole ${\displaystyle \Delta }$ dowolnego trójkąta ${\displaystyle ABC}$ o skończonych bokach jest stałą wielokrotnością defektu trójkąta

${\displaystyle \Delta =\mu (\pi -\measuredangle A-\measuredangle B-\measuredangle C).}$

Wtedy pole każdego trójkąta potrójnie asymptotycznego jest równe

${\displaystyle \Delta =\mu \cdot \pi .}$

• Punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt potrójnie asymptotyczny są wierzchołkami trójkąta równobocznego o boku

${\displaystyle d=4\ln \varphi \approx 1{,}925,}$

gdzie ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ jest złotym stosunkiem^[7]

Zastosowania w grafice

Parkietaż złożony z trójkątów potrójnie asymptotycznych

Parkietaż złożony z trójkątów potrójnie asymptotycznych o grupie symetrii trójkąta równobocznego

Podobnie jak trójkąty asymptotyczne i trójkąty podwójnie asymptotyczne trójkąty potrójnie asymptotyczne można wykorzystywać w grafice do tworzenia parkietaży koła.

Przypisy

Bibliografia

• Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
• Carslaw H.S.: The Elements of Non-euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916.