Trapez

Trapez z oznaczeniami

Trapez – czworokąt (wypukły) mający przynajmniej jedną parę równoległych boków^[1]; (wybraną) parę boków równoległych nazywa się podstawami, pozostałe boki noszą nazwę ramion, odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu. Niektóre potoczne definicje określają trapez jako czworokąt mający tylko jedną parę boków równoległych i zgodnie z nimi równoległobok nie jest trapezem^[2].

Własności

Ponieważ ramię trapezu jest sieczną (transwersalą) podstaw (zob. kąty wyznaczane przez proste), to suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa 180° (jako para kątów jednostronnych wewnętrznych).

Jeśli ${\displaystyle P}$ oznacza punkt przecięcia przekątnych, to trójkąty ${\displaystyle ADP}$ i ${\displaystyle BCP}$ mają równe pola^[a], a trójkąty ${\displaystyle ABP}$ i ${\displaystyle CDP}$ są podobne (co wynika wprost z twierdzenia Talesa).

Pole powierzchni trapezu wyraża się jako iloczyn połowy sumy długości podstaw oraz jego wysokości, czyli dane jest wzorem^[3]:

${\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}\ h}$

gdzie ${\displaystyle a,b}$ to długości podstaw, a ${\displaystyle h}$ to jego wysokość. Istnieje również wzór na pole powierzchni trapezu wykorzystujący wyłącznie długości boków (podstaw i ramion):

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\frac {a+b}{a-b}}\ {\sqrt {(a-b)+c+d}}\ {\sqrt {(a-b)+c-d}}\ {\sqrt {(a-b)-c+d}}\ {\sqrt {-(a-b)+c+d}}}$

gdzie ${\displaystyle a,b}$ oznaczają długości odpowiednio dłuższej i krótszej podstawy, zaś ${\displaystyle c,d}$ to długości ramion^[b].

Przypadki szczególne

Trapez równoramienny (niebędący równoległobokiem) z oznaczeniami

Trapez prostokątny z oznaczeniami

Trapez równoramienny – trapez o ramionach równej długości. Jeśli taki trapez nie jest równoległobokiem niebędącym prostokątem, to ma on oś symetrii: przechodzącą przez środki podstaw ich wspólną symetralną. W tym przypadku kąty między ramionami a daną podstawą są równe, a kąty przeciwległe sumują się do 180°; stąd można go wtedy wpisać w okrąg.

Pole powierzchni trapezu równoramiennego można wyrazić wzorem

${\displaystyle S={\frac {g^{2}}{2}}\ \sin \varphi }$

gdzie ${\displaystyle g}$ oznacza długość przekątnej trapezu (obie mają równą długość), a ${\displaystyle \varphi }$ to kąt między przekątnymi trapezu.

Trapez prostokątny – trapez, którego kąt wewnętrzny jest prosty, tj. ma miarę 90° ramię trapezu jako sieczna (transwersala) podstaw (zob. kąty wyznaczane przez proste) przecina je obie pod kątem prostym, dlatego trapez prostokątny musi mieć co najmniej dwa kąty proste. Szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego jest prostokąt (który ma cztery kąty wewnętrzne proste).

Zobacz też

• deltoid
• prostokąt
• równoległobok
• trapezoid

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Wyprowadzenie wzoru na pole trapezu