Twierdzenie Barbiera

Wielokąty Reuleaux mają stałą szerokość i jeśli mają tę samą szerokość to na mocy twierdzenia Barbiera mają również taki sam obwód

Twierdzenie Barbiera – twierdzenie mówiące o tym, że wszystkie figury o stałej szerokości mają obwód równy ich szerokości pomnożony przez ${\displaystyle \pi }$^[1]. Opublikował je Joseph-Émile Barbier w 1860^[2].

Przykłady

Najbardziej znane przykłady figur o stałej szerokości to koło i trójkąt Reuleaux^[3]. Szerokością koła jest jego średnica o długości ${\displaystyle d,}$ natomiast obwód ma długość ${\displaystyle \pi d.}$ Trójkąt Reuleaux składa się z trzech łuków okręgu o promieniu ${\displaystyle d.}$ Każdy z łuków ma kąt środkowy o mierze równej ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}},}$ więc obwód trójkąta Reuleaux o szerokości ${\displaystyle d}$ jest połową długości okręgu o promieniu ${\displaystyle d,}$ czyli ${\displaystyle \pi d.}$ Podobna analiza dla innych prostych przypadków takich jak inne wielokąty Reuleaux daje te same odpowiedzi.

Dowody

Jeden z dowodów twierdzenia korzysta z własności dodawania Minkowskiego. Jeśli ${\displaystyle K}$ jest ciałem o stałej szerokości ${\displaystyle d,}$ to wynikiem dodawania Minkowskiego ${\displaystyle K}$ i jego obrotu o 180° jest koło o promieniu ${\displaystyle d}$ i obwodzie ${\displaystyle 2\pi d.}$ Jednak dodawanie Minkowskiego jest operacją liniową dla figur wypukłych, więc obwód ${\displaystyle K}$ musi być połową obwodu koła, czyli ${\displaystyle \pi d}$ tak jak stanowi teza twierdzenia^[4].

Inny dowód można otrzymać z analizy zagadnienia igły Buffona. Wystarczy zauważyć, że igłę o długości ${\displaystyle d}$ można zastąpić dowolną łamaną lub krzywą o takiej samej długości. Łamana lub krzywa może być również zamknięta o obwodzie ${\displaystyle d.}$ Najprostszą krzywą zamkniętą jest okrąg, który można zastąpić dowolną figurą o stałej szerokości^[5].

Wyższe wymiary

W przypadku bryły o stałej szerokości odpowiednik twierdzenia Barbiera jest fałszywy. W szczególności sfera o średnicy ${\displaystyle d}$ ma powierzchnię ${\displaystyle \pi d^{2}}$ natomiast powierzchnia bryły wyznaczonej przez obrót trójkąta Reulaux to ${\displaystyle \pi \cdot (2-{\frac {\pi }{3}})d^{2}\approx \pi \cdot 0{,}9528\cdot d^{2}}$^[1].

Przypisy