Twierdzenie Nikodyma o ograniczoności

Twierdzenie Nikodyma o ograniczoności – twierdzenie udowodnione przez Ottona Nikodyma w 1933 roku^[1], które gwarantuje jednostajną ograniczoność rodziny miar wektorowych na danym σ-ciele zbiorów, o ile są one punktowo jednostajnie ograniczone.

Nikodym udowodnił pierwotnie twierdzenie dla miar przyjmujących wartości skalarne. Poniższa wersja sformułowana dla miar wektorowych pochodzi od Drewnowskiego^[2].

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego zbioru ${\displaystyle \Omega }$ oraz niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha. Jeżeli ${\displaystyle \{\mu _{t}\colon t\in T\}}$ jest taką rodziną miar wektorowych na ${\displaystyle A}$ przyjmujących wartość w ${\displaystyle X,}$ że gdy dla każdego zbioru ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ zachodzi

${\displaystyle \sup _{t\in T}\|\mu _{t}(A)\|<\infty ,}$

to

${\displaystyle \sup _{t\in T}\|\mu _{t}\|(\Omega )<\infty ,}$

gdzie ${\displaystyle \|\mu \|}$ oznacza półwahanie miary ${\displaystyle \mu }$^[3].

Przypisy

Bibliografia

• Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.