Twierdzenie Rolle’a

Ilustracja twierdzenia

Twierdzenie Rolle’a – twierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące, że funkcja różniczkowalna przyjmująca równe wartości w dwóch różnych punktach ma pomiędzy nimi punkt stacjonarny, tzn. punkt, w którym nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji względem osi OX jest równe zeru^[1]. Jest to najprostszy przypadek twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, a przez to – twierdzenia Cauchy’ego.

Twierdzenie to opublikował (dla wielomianów) francuski matematyk Michel Rolle w 1691. W innej postaci znane ono było w 1150 roku indyjskiemu matematykowi Bhaskarze.

Wersja standardowa

Niech ${\displaystyle f}$ będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na przedziale domkniętym ${\displaystyle [a,b],}$ różniczkowalną na przedziale otwartym ${\displaystyle (a,b).}$ Wówczas jeżeli ${\displaystyle f(a)=f(b),}$ to istnieje taki punkt ${\displaystyle c}$ należący do przedziału otwartego ${\displaystyle (a,b),}$ że

${\displaystyle f'(c)=0.}$

Z tej wersji twierdzenia Rolle’a korzysta się przy dowodzie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, którego twierdzenie Rolle’a jest przypadkiem szczególnym.

Dowód

Jeżeli ${\displaystyle f\equiv \mathrm {const} ,}$ to ${\displaystyle f'(c)=0}$ dla każdego ${\displaystyle c\in (a,b).}$ Gdy ${\displaystyle f}$ nie jest tożsamościowo równa stałej, to istnieje taki punkt ${\displaystyle x\in (a,b),}$ dla którego zachodzi

${\displaystyle f(x)>f(a)=f(b)}$

lub

${\displaystyle f(x)<f(a)=f(b).}$

Przypuśćmy, że zachodzi pierwszy przypadek, tzn. dla pewnego argumentu wartość funkcji jest większa od ${\displaystyle f(a)=f(b);}$ rozumowanie w drugim przypadku jest analogiczne (wówczas trzeba rozważać wartość najmniejszą zamiast największej).

Określona na przedziale zwartym ${\displaystyle [a,b]}$ funkcja ciągła ${\displaystyle f}$ na mocy twierdzenia Weierstrassa przyjmuje wartość największą, tzn. istnieje taki punkt ${\displaystyle c\in [a,b],}$ że

${\displaystyle f(c)=\sup f(x)}$

dla ${\displaystyle x\in [a,b].}$

Z założenia, że istnieje wartość większa od ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ wynika, że ${\displaystyle a\neq c\neq b,}$ tzn. ${\displaystyle c\in (a,b).}$ Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum globalnego funkcji ${\displaystyle f}$ w ${\displaystyle c}$ jest znikanie pochodnej w tym punkcie, co dowodzi tezy.

Uogólnienia

Niech ${\displaystyle h:=b-a}$ będzie rzeczywistą liczbą dodatnią, a ${\displaystyle x:=a,}$ wtedy ${\displaystyle x+h=b.}$ Punkt ${\displaystyle c\in (a,b)}$ można zapisać jako ${\displaystyle x+\theta h,}$ gdzie ${\displaystyle \theta \in (0,1).}$

Przy takich oznaczeniach twierdzenie Rolle’a ma postać:

Jeśli

${\displaystyle f(x+h)=f(x),}$

to istnieje punkt ${\displaystyle x+\theta h,}$ dla którego

${\displaystyle f'(x+\theta h)h=0.}$

Rezygnacja z warunku ${\displaystyle f(a)=f(b),}$ czyli ${\displaystyle f(x)=f(x+h),}$ prowadzi do ogólniejszego twierdzenia Lagrange’a:

Istnieje taki punkt ${\displaystyle x+\theta h,}$ który spełnia tożsamość

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x+\theta h)h.}$

Z kolei dalekim uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a jest twierdzenie Taylora mówiące, że:

Istnieje taki punkt ${\displaystyle x+\theta h,}$ dla którego zachodzi:

${\displaystyle f(x+h)={\frac {f^{(0)}(x)}{0!}}h^{0}+{\frac {f'(x)}{1!}}h^{1}+{\frac {f^{(2)}(x)}{2!}}h^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(x)}{n!}}h^{n}+{\frac {f^{(n+1)}(x+\theta h)}{(n+1)!}}h^{n+1},}$

gdzie o funkcji ${\displaystyle f}$ zakłada się, by była ${\displaystyle n+1}$ razy różniczkowalna.

Twierdzenie Rolle’a uzyskuje się z niego przyjmując ${\displaystyle n=0.}$

Zobacz też

• twierdzenie Darboux

Przypisy

Bibliografia

• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 195. ISBN 83-01-02175-6.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Rolle's Theorem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].
• Rolle theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-06-20].