Twierdzenie Sobczyka

Twierdzenie Sobczyka – twierdzenie teorii przestrzeni Banacha mówiące, że każda izometryczna kopia przestrzeni c0 zanurzona w ośrodkowej przestrzeni Banacha jest obrazem pewnego rzutowania o normie nie przekraczającej 2 (tj. jest 2-komplementarna)[1].

Twierdzenie Sobczyka kontrastuje z wynikiem Ralpha S. Phillipsa mówiącym, że żadna kopia przestrzeni zanurzona w przestrzeni nie ma dopełnienia komplementarnego[2]. Rezultat ten otrzymał także Sobczyk[3].

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska amerykańskiego matematyka, Andrew Sobczyka, który opublikował jego dowód w 1944 roku[4]. Twierdzenie to doczekało się od tego czasu wielu różnych dowodów podanych m.in. przez Aleksandra Pełczyńskiego[5], Williama A. Veecha[6], Saymoura Goldberga[7], André Martineau[8] Dirka Wernera[9] czy Félixa Cabello Sáncheza[10].

Istnieją także uogólnienia zaproponowane przez V.S. Hasanowa[11], Aníbala Moltó[12] czy Félixa Cabello Sáncheza i Jesusa M. Castillo[13].

Dowód Veecha

Niech będzie ośrodkową przestrzenią Banacha oraz niech będzie podprzestrzenią izometryczną z Z ośrodkowości wynika metryzowalność w słabej topologii kuli jednostkowej przestrzeni Niech będzie metryką na wyznaczającą słabą topologię.

Utożsamiając z dla każdego odwzorowanie

jest funkcjonałem liniowym na o normie 1. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika istnienie funkcjonałów w również o normie 1, które rozszerzają Niech

Każdy *-słaby punkt skupienia ciągu należy do a zatem

Istnieje zatem taki ciąg w zbiorze że

Z powyższego wynika, że ciąg (mający normę co najwyżej 2) jest *-słabo zbieżny do 0. Ostatecznie, odwzorowanie

jest rzutem na o normie co najwyżej 2[14].

Przypisy

  1. ↑ Lindenstrauss, Tzafriri 1977 ↓, s. 78.
  2. ↑ R.S. Phillips, On linear transformations, „Trans. Amer. Math. Soc.”, 48 (1940), s. 516–541.
  3. ↑ A. Sobczyk, Projection of the space (m) on its subspace c0, „Bull. Amer. Math. Soc.”, 47 (1941), s. 938–947.
  4. ↑ A. Sobczyk, On the extension of linear transformations, „Trans. Amer. Math. Soc.”, 55 (1944), s. 153–169.
  5. ↑ A. Pełczyński, Projections in certain Banach spaces, „Stud. Math.”, 19 (1960), s. 209–228.
  6. ↑ W.A. Veech, Short proof of Sobczyk’s theorem, „Proc. Amer. Math. Soc.”, 28 (1971), s. 627–628.
  7. ↑ S. Goldberg, On Sobczyk’s projection theorem, „Amer. Math. Monthly”, 76 (1969), s. 523–526.
  8. ↑ A. Martineau, Propriété de prolongement et de relevement de certaines classes d’applications linéaires et bilinéaires, „Séminaire d’Analyse Fonctionnelle”, 1963–1964, Faculté des Sciences de Montpellier, Montpellier 1964, s. 3–47.
  9. ↑ D. Werner, De nouveau: M-ideaux des espaces d’operateurs compacts, „Séminaire d’Initiation à l’Analyse”, Exp. No. 17, Publ. Math. Univ. Pierre et Marie Curie, 94, Univ. Paris VI, Paris, 1989.
  10. ↑ F. Cabello Sánchez, Yet another proof of Sobczyk’s theorem. „Methods in Banach space theory”, London Math. Soc. Lecture Notes 337. Cambridge Univ. Press 2006, s. 133–138.
  11. ↑ V.S. Hasanov, Some universally complemented subspaces in m('Γ'), „Math. Zametki”, 27 (1980), s. 105–108.
  12. ↑ A. Moltó, On a theorem of Sobczyk, „Bull. Aust. Math. Soc.”, 43 (1991), s. 123–130.
  13. ↑ F. Cabello Sáanchez, J.M.F. Castillo, Banach space techniques underpinning a theory for nearly additive mappings, „Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.)”, 404 (2002).
  14. ↑ Dales et al. 2016 ↓, s. 78.

Bibliografia

  • H.G. Dales, F.K. Dashiell, Jr., A.T.-M. Lau, D. Strauss, Banach Spaces of Continuous Functions as Dual Spaces, Springer, CMS Books in Mathematics, 2016, ​ISBN 978-3-319-32349-7​.
  • F. Cabello Sánchez, J.M.F. Castillo, D. Yost, Sobczyk’s Theorems from A to B, „Extracta Mathematicae” 15, Num. 2 (2000), s. 391–420.
  • J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1977.