Twierdzenie Sturma

Ten artykuł od 2010-08 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Twierdzenie Sturma – twierdzenie pozwalające ustalić liczbę miejsc zerowych dowolnego wielomianu rzeczywistego w ustalonym przedziale, sformułowane przez Jacques’a Charles’a François Sturma. Jest to uogólnienie reguły znaków Kartezjusza, szacującej liczbę pierwiastków głównie wśród liczb dodatnich, ujemnych i w innych przedziałach otwartych (nieskończonych).

Ciągi Sturma

Dla danego wielomianu

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\ldots a_{1}x+a_{0}}$

Ciąg Sturma (wielomianu ${\displaystyle f}$) określony jest wzorami:

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{0}&=X\\X_{1}&=X'\\X_{2}&=-\mathrm {rem} (X_{0},X_{1})\\X_{3}&=-\mathrm {rem} (X_{1},X_{2})\\&\;\;\vdots \\X_{r+1}&=-\mathrm {rem} (X_{r-1},X_{r}),\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {rem} (X,Y)}$ oznacza resztę z dzielenia wielomianu ${\displaystyle X}$ przez ${\displaystyle Y}$ oraz ${\displaystyle r}$ jest taką liczbą naturalną, że ${\displaystyle X_{r+1}=0.}$

Innymi słowy, ciąg Sturma danego wielomianu ${\displaystyle w}$ jest (skończonym) ciągiem reszt uzyskiwanych podczas stosowania algorytmu Euklidesa do odpowiednich wielomianów ${\displaystyle X_{r}}$ jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianu ${\displaystyle X}$ oraz jego pochodnej. Jeżeli wielomian ten ma tylko pojedyncze pierwiastki, to ${\displaystyle X_{r}}$ jest funkcją stałą.

Twierdzenie Sturma

Niech ${\displaystyle w(\xi )}$ będzie liczbą zmian znaku (nie liczy się zer) w ciągu Sturma:

${\displaystyle X_{0}(\xi ),X_{1}(\xi ),X_{2}(\xi ),\dots ,X_{r}(\xi ).}$

Twierdzenie Sturma mówi, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych ${\displaystyle a<b}$ które nie są pierwiastkami wielomianu ${\displaystyle X}$ liczba różnych pierwiastków wielomianu w przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ jest równa

${\displaystyle |w(a)-w(b)|.}$

Zastosowania

Twierdzenie Sturma można wykorzystać do wyznaczenia liczby rzeczywistych pierwiastków dowolnego wielomianu. Wystarczy znaleźć taką liczbę ${\displaystyle M,}$ że wszystkie pierwiastki wielomianu ${\displaystyle X}$ leżą w przedziale ${\displaystyle [-M,M];}$ za taką liczbę można wziąć np.

${\displaystyle M=\max\{1,\sum |a_{i}|\}.}$

Linki zewnętrzne

• MaciejM. Bryński MaciejM., Twierdzenie Sturma, [w:] pismo „Delta” [online], deltami.edu.pl, luty 2016, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-03-18]  (pol.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sturm Theorem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].